I.3. Fonctions convexes
[(ii) ⇔ (iii)]. Soit g a : x ∈ O −→ g a (x) := e a,x f (x). La fonction g a est
deux fois différentiable sur O avec
∇ 2 g a (x) = e a,x
f (x)aa + ∇f (x)a + a[∇f (x)] + ∇ 2 f (x)
pour tout
x ∈ O.
Par conséquent, ce qu’exprime (iii) est exactement :
f (x)(a, h) 2 + 2 ∇f (x), h a, h +
∇ 2 f (x)h, h
0 pour tout x ∈ O,
tout a ∈ R n et tout h ∈ R n ;
soit encore
f (x)u 2 + 2 ∇f (x), h u +
∇ 2 f (x)h, h
0 pour tout x ∈ O, tout u ∈ R
et tout h ∈ R n .
Le trinôme du second degré mis en évidence ci-dessus est positif sur R si
et seulement si son discriminant est négatif ; cela se traduit par
(∇f (x), h)
2
− f (x)
∇
2 f (x)h, h
0.
L’équivalence de (iii) et (ii) est claire à présent.
b) Si f 1 et f 2 sont logarithmiquement convexes, toutes les fonctions x −→
e a,x f 1 (x) et x −→ e a,x f 2 (x) sont convexes (d’après [(i) ⇒ (iii)] de la question précédente) ; par suite, toutes les fonctions x −→ e a,x (f 1 + f 2 )(x) sont
convexes, et donc f 1 + f 2 est logarithmiquement convexe (d’après [(iii) ⇒ (i)]
de la question précédente).
Commentaire : Prolongement de l’exercice : Démontrer l’équivalence entre (i)
et (iii) de la question 2 ◦ ) a) et le résultat de la question 2 ◦ ) b) pour des fonctions
qui ne sont pas nécessairement différentiables.
** Exercice I.16. Soit Q ∈ S p (R) et A ∈ M m,p (R). Montrer l’équivalence des
deux assertions suivantes :
(i) Qx, x > 0 pour tout x ∈ Ker A \ {0} ;
(ii) Il existe α 0 0 tel que Q + α 0 A A soit définie positive.
Solution : [(ii) ⇒ (i)]. Immédiat : si x ∈ Ker A, x = 0,
Qx, x = Qx, x + α 0 Ax
2 = (Q + α 0 A
A)x, x > 0.
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