Chapitre I. Révision de bases : calcul différentiel...
** Exercice I.15. Soit O un ouvert convexe de R n et f : O → R +
∗ . On dit que
f est logarithmiquement convexe (sur O) lorsque la fonction ln f : O → R est
convexe.
1 ◦ ) a) Montrer que si ϕ : O → R est convexe, il en est de même de la fonction
exp ϕ.
b) En déduire qu’une fonction logarithmiquement convexe est nécessairement convexe.
2 ◦ ) a) On suppose ici que f est deux fois différentiable sur O. Montrer
l’équivalence des assertions suivantes :
(i) f est logarithmiquement convexe ;
(ii) f (x)∇ 2 f (x) ∇f (x) [∇f (x)]
pour tout x ∈ O ;
(iii) La fonction x −→ e a,x f (x) est convexe pour tout a ∈ R n .
b) En déduire que si f 1 et f 2 sont logarithmiquement convexes et deux fois
différentiables sur O, il en est de même de leur somme f 1 + f 2 .
Solution : 1 ◦ ) a) La fonction ϕ : x ∈ O −→ ϕ(x) est convexe par hypothèse ;
la fonction y ∈ R −→ exp y est croissante et convexe. Par suite, la fonction
composée qui à x ∈ O associe exp ϕ(x) est convexe ; en effet :
∀α ∈ ]0, 1[ , ∀x
, x
∈ O, ϕ(αx + (1 − α)x
) αϕ(x) + (1 − α)ϕ(x
),
d’où
(exp ϕ)(αx + (1 − α)x
) exp[αϕ(x) + (1 − α)ϕ(x
)]
α exp ϕ(x) + (1 − α)ϕ(x
).
b) Appliquons le résultat précédent à ϕ := ln f ; il vient que f = exp(ln f )
est convexe.
2 ◦ ) a) [(i) ⇔ (ii)]. On sait que la fonction (deux fois différentiable) ϕ := ln f
est convexe si et seulement si :
∇
2 ϕ(x) est semi-définie positive pour tout x ∈ O.
Mais
∇
2 ϕ(x) =
f (x)∇ 2 f (x) − ∇f (x)[∇f (x)]
f (x) 2
pour tout x ∈ O ;
l’équivalence annoncée s’ensuit.
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