I.3. Fonctions convexes
Commentaire :
– La propriété démontrée dans l’exercice se traduit par : si A et B sont (symétriques) définies positives et différentes, et si α ∈ ]0, 1[ alors
dét(αA + (1 − α)B) > (détA)
α (détB)
1−α .
– Autre exemple de conséquence : {A ∈
◦
P n (R) | détA 1} est un ensemble
convexe (ce qui ne saute pas aux yeux...).
– La propriété démontrée dans cet exercice est essentielle ; on y reviendra
maintes et maintes fois.
** Exercice I.14. Soit f : S n (R) −→ R
A −→ f (A) := dét A.
1 ◦ ) Rappeler ce qu’est la différentielle de f en A ∈ S n (R).
2 ◦ ) Soit g :
◦
P n (R) −→ R
A −→ g(A) := ln(dét A).
Sachant que g est deux fois différentiable sur
◦
P n (R), déterminer le plus
économiquement possible la différentielle seconde de g en A ∈
◦
P n (R).
Solution : 1 ◦ ) Df (A) : H ∈ S n (R) −→ → cof A, H ; revoir à ce sujet
l’Exercice 1.4 si nécessaire.
2 ◦ ) Dg(A) : H ∈ S n (R) −→ → A −1 , H (= tr(A −1 H)).
On sait que D 2 g(A) : S n (R) × S n (R) −→ R
(H, K) −→ D 2 g(A)(H, K)
est une forme bilinéaire symétrique sur S n (R). La voie la plus économique pour
déterminer D 2 g(A)(H, K) est la suivante : D 2 g(A)(H, K) est la différentielle
(première) en A de l’application X ∈
◦
P n (R) −→ Dg(X)H, appliquée à K.
Dans le cas présent :
D
2 g(A)(H, K) = −A
−1 KA
−1 , H = −tr(A
−1 KA
−1 H).
Il s’ensuit notamment (par un développement de Taylor-Young à l’ordre
deux de g en A ∈
◦
P n (R)) : pour tout H ∈ S n (R),
ln(dét (A + H)) = ln(dét (A)) + tr(A
−1 H) − tr(A
−1 HA
−1 H) + H
2 ε(H),
où ε(H) −→ 0 quand H −→ 0.
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