Chapitre I. Révision de bases : calcul différentiel...
2 ◦ ) Montrer que
ϕ(t) − ϕ(0) = −
n
i=1
ln(1 + tλ i ) pour tout t ∈ I X 0 ,H ,
où les λ i désignent les valeurs propres de X
−1/2
0
HX
−1/2
0
.
3 ◦ ) Déduire de ce qui précède la stricte convexité de f .
Solution : 1 ◦ )
◦
P n (R) étant ouvert et convexe,
I X 0 ,H := {t ∈ R | X 0 + tH ∈
◦
P n (R)}
est également ouvert et convexe : c’est l’image inverse de
◦
P n (R) par l’application affine (continue) t −→ X 0 + tH.
2 ◦ ) De :
X 0 + tH = X
1/2
0
X
1/2
0
+ tX
−1/2
0
H
= X
1/2
0
I n + tX
−1/2
0
HX
−1/2
0
X
1/2
0 ,
on tire :
(X 0 + tH)
−1 = X
−1/2
0
I n + tX
−1/2
0
HX
−1/2
0
−1
X
−1/2
0
,
d’où :
ln
dét (X 0 + tH)
−1
= ln(dét X
−1
0 ) + ln
dét
I n + tX
−1/2
0
HX
−1/2
0
−1
.
Si {λ i | i = 1, . . . , n} est le spectre (entièrement réel) de la matrice symétrique
X
−1/2
0
HX
−1/2
0
, alors {1 + tλ i | i = 1, . . . , n} (resp. {(1 + tλ i ) −1 | i = 1, . . . , n})
est le spectre de I n + tX
−1/2
0
HX
−1/2
0
(resp. de
I n + tX
−1/2
0
HX
−1/2
0
−1
). En
conséquence,
ϕ(t) = ϕ(0) −
n
i=1
ln(1 + tλ i ).
3 ◦ ) ϕ est strictement convexe sur I X 0 ,H car ϕ > 0 sur I X 0 ,H . Par suite, la
fonction f dont toute « trace » ϕ sur une droite passant par X 0 ∈
◦
P n (R)
et dirigée par H ∈ S n (R) est strictement convexe, est elle-même strictement
convexe.
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