I.3. Fonctions convexes
Considérons par exemple
A =
⎡
⎣
2 −1 −1
−1 2 −1
−1 −1 2
⎤
⎦ ∈ S 3 (R).
Le calcul des mineurs principaux de A se décompose en :
– 3 déterminants de matrices (1,1) (tous égaux à 2 ici),
– 3 déterminants de matrices (2,2) (tous égaux à 3 ici),
– 1 déterminant de matrice (3,3) (ici dét A = 0).
Donc A est semi-définie positive.
Considérons à présent A =
0 0
0 −1
∈ S 2 (R). Bien que dét A 1 0 et
détA 2 0, la matrice A n’est pas semi-définie positive (elle est même semidéfinie négative).
* Propriétés de la forme quadratique q A :
– (A ∈ P n (R)) ⇔ (q A est une fonction convexe sur R n )
–
A ∈
◦
P n (R)
⇔ (q A est strictement convexe sur R n )
⇔ (q A est fortement convexe sur R n ) .
** Exercice I.13. Soit
◦
P n (R) l’ensemble des A ∈ S n (R) qui sont définies positives
(c’est un ouvert convexe de S n (R)). Soit
f :
◦
P n (R) −→ R
A −→ f (A) := ln(dét A
−1 ).
On se propose de montrer que f est strictement convexe sur
◦
P n (R). Pour
cela, on prend X 0 ∈
◦
P n (R), H ∈ S n (R), et on considère la fonction ϕ de la
variable réelle définie par
ϕ(t) := ln(dét(X 0 + tH)
−1 ).
1 ◦ ) Vérifier que ϕ est définie sur un intervalle ouvert (de R) contenant l’origine ; on notera I X 0 ,H cet intervalle.
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