Chapitre I. Révision de bases : calcul différentiel...
Il y a différentes factorisations possibles de A sous cette forme :
• la factorisation de Cholesky, où B est triangulaire inférieure avec éléments diagonaux strictement positifs ;
• en prenant B symétrique définie positive (B est dans ce cas la racine
carrée positive de A, notée A 1/2 ).
– Les invariants principaux i k (A) de A, k = 1, . . . , n, sont strictement
positifs.
Si P A est le polynôme caractéristique de A, on a :
P A = (−X)
n + i 1 (A)(−X)
n−1 + · · · + i k (A)(−X)
n−k + · · · + i n (A).
Rappelons que
i k (A) =
1i 1 <··· λ i 1 λ i 2 . . . λ i k ;
par exemple i 1 (A) = tr(A) et i n (A) = dét A.
– Une caractérisation lorsque A est inversible. Soit K un cône convexe
fermé de R n et K ◦ son cône polaire ; alors
A ∈
◦
P n (R)
⇔
Ax, x > 0 pour tout x ∈ K \ {0} et
A −1 x, x > 0 pour tout x ∈ K ◦ \ {0}
(cf. Exercice I.11 pour une démonstration dans le cas plus simple où K est un
sous-espace vectoriel de R n ).
Il y a d’autres tests de dépistage du caractère défini positif de A ∈ S n (R),
mais ils sont moins utiles dans la pratique ; à titre d’exemple :
A ∈
◦
P n (R)
⇔ (αA + (1 − α)I n est inversible pour tout α ∈ ]0, 1]) ;
A ∈
◦
P n (R)
⇔ (Il existe B ∈ S n (R) telle que A = exp B) .
* Caractérisations diverses de « A ∈ P n (R) » :
– Toutes les valeurs propres de A sont positives.
– Il existe B telle que A = BB (alors la forme quadratique q A (x) =
Ax, x est minimisée (nulle en fait) sur le noyau de B).
– Tous les mineurs principaux d’ordre k de A, k = 1, . . . , n, sont positifs (et pas seulement les dét (A k ), k = 1, . . . , n). On rappelle qu’un mineur principal d’ordre k de A est le déterminant d’une matrice (k, k) extraite de A en retenant les lignes et colonnes de numéros n 1 , n 2 , . . . , n k , où
1 n 1 < n 2 < · · · < n k < · · · n.
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Il y a différentes factorisations possibles de A sous cette forme :
• la factorisation de Cholesky, où B est triangulaire inférieure avec éléments diagonaux strictement positifs ;
• en prenant B symétrique définie positive (B est dans ce cas la racine
carrée positive de A, notée A 1/2 ).
– Les invariants principaux i k (A) de A, k = 1, . . . , n, sont strictement
positifs.
Si P A est le polynôme caractéristique de A, on a :
P A = (−X)
n + i 1 (A)(−X)
n−1 + · · · + i k (A)(−X)
n−k + · · · + i n (A).
Rappelons que
i k (A) =
1i 1 <··· λ i 1 λ i 2 . . . λ i k ;
par exemple i 1 (A) = tr(A) et i n (A) = dét A.
– Une caractérisation lorsque A est inversible. Soit K un cône convexe
fermé de R n et K ◦ son cône polaire ; alors
A ∈
◦
P n (R)
⇔
Ax, x > 0 pour tout x ∈ K \ {0} et
A −1 x, x > 0 pour tout x ∈ K ◦ \ {0}
(cf. Exercice I.11 pour une démonstration dans le cas plus simple où K est un
sous-espace vectoriel de R n ).
Il y a d’autres tests de dépistage du caractère défini positif de A ∈ S n (R),
mais ils sont moins utiles dans la pratique ; à titre d’exemple :
A ∈
◦
P n (R)
⇔ (αA + (1 − α)I n est inversible pour tout α ∈ ]0, 1]) ;
A ∈
◦
P n (R)
⇔ (Il existe B ∈ S n (R) telle que A = exp B) .
* Caractérisations diverses de « A ∈ P n (R) » :
– Toutes les valeurs propres de A sont positives.
– Il existe B telle que A = BB (alors la forme quadratique q A (x) =
Ax, x est minimisée (nulle en fait) sur le noyau de B).
– Tous les mineurs principaux d’ordre k de A, k = 1, . . . , n, sont positifs (et pas seulement les dét (A k ), k = 1, . . . , n). On rappelle qu’un mineur principal d’ordre k de A est le déterminant d’une matrice (k, k) extraite de A en retenant les lignes et colonnes de numéros n 1 , n 2 , . . . , n k , où
1 n 1 < n 2 < · · · < n k < · · · n.
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