I.3. Fonctions convexes
Solution : Dans S n (R) structuré en espace euclidien grâce au produit scalaire
A, B := tr(AB), on considère :
◦
P n (R) := ensemble des matrices définies positives,
P n (R) := ensemble des matrices semi-définies positives.
Nous serons aussi amenés à considérer la forme quadratique q A sur R n
associée à A, à savoir : x ∈ R n −→ q A (x) = Ax, x.
* Propriétés de P n (R) et
◦
P n (R) (cf. Exercice I.10) :
– P n (R) est un cône convexe fermé de S n (R), dont l’intérieur est
◦
P n (R)
précisément (
◦
P n (R) est donc un cône convexe ouvert de S n (R)).
– Le cône polaire de P n (R) est exactement −P n (R) (le cône des matrices
semi-définies négatives), c’est-à-dire :
( B, A 0 pour tout A ∈ P n (R)) ⇔ (−B ∈ P n (R)) .
Cela se voit facilement en utilisant, pour S ∈ S n (R), une décomposition spectrale de S :
S =
n
i=1
λ i x i x
i
(où les λ i sont les valeurs propres de S, x i ∈ R n est un vecteur propre unitaire
associé à λ i ) et en observant que S, yy = Sy, y.
Sur la frontière du cône P n (R) se trouvent donc toutes les matrices semidéfinies positives qui sont singulières ; il y a
– la matrice nulle (c’est la pointe du cône) ;
– les matrices de rang 1, i.e. celles de la forme xx avec x = 0 (ce sont
les génératrices extrémales du cône P n (R)) ;
– les matrices de rang 2, 3, ..., n − 1.
Lorsque n = 2, on peut visualiser P 2 (R) dans S 2 (R) ≡ R 3 (cf. Exercice I.10)
mais ceci est très particulier dans la mesure où la frontière de S 2 (R), privée de
l’origine, est « lisse » (n’y figurent que des génératrices extrémales).
* Caractérisations diverses de « A ∈
◦
P n (R) » :
– Toutes les valeurs propres λ i de A sont strictement positives.
– dét A k > 0 pour tout k = 1, . . . , n, où A k = [a ij ] 1 i k
1 j k
.
– Il existe B inversible telle que A = BB (auquel cas Ax, x = Bx 2 ).
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