Chapitre I. Révision de bases : calcul différentiel...
Solution : La nécessité de (C) est immédiate puisque A −1 est (symétrique)
définie positive dès que A l’est.
La définie positivité de A sous la condition (C) sera démontrée en deux
étapes.
– Montrons tout d’abord que R n = H ⊕ A −1 (H ⊥ ).
On a dimH +dimA −1 (H ⊥ ) = dimH +dimH ⊥ = n. Il suffit donc de démontrer que H ∩ A −1 (H ⊥ ) = {0}. Prenons pour cela x ∈ H ∩ A −1 (H ⊥ ). Comme
Ax ∈ H ⊥ , Ax, y = 0 pour tout y ∈ H. Ainsi : x ∈ H et Ax, x = 0. Or,
d’après le premier volet de la condition (C), ceci n’est possible que si x = 0.
– Montrons à présent que
A(x + y), x + y 0 pour tout x ∈ H et tout y ∈ A
−1 (H
⊥ ),
ce qui assurera la semi-définie positivité de A.
Soit donc x ∈ H et y ∈ A −1 (H ⊥ ). Alors
A(x + y), x + y = Ax, x + 2x, Ay + Ay, y,
avec :
Ax, x 0 puisque x ∈ H,
x, Ay = 0 puisque x ∈ H et Ay ∈ H
⊥ ,
et
Ay, y = x
, A
−1 x
puisque x
:= Ay ∈ H
⊥ .
En définitive, A(x + y), x + y 0.
Commentaire : Il y a en fait une caractérisation de « A définie positive » plus
générale que (C), avec un cône convexe fermé K au lieu d’un sous-espace vectoriel H : dans (C) on remplace H par K et H ⊥ par le cône polaire K ◦ . Mais
la démonstration est plus difficile. On retiendra néanmoins la belle symétrie du
résultat puisque (A −1 ) −1 = A et (K ◦ ) ◦ = K.
** Exercice I.12. Soit A = [a ij ] ∈ S n (R). Rassemblez toutes les caractérisations
que vous connaissez de :
« A est définie positive », et de « A est semi-définie positive ».
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