I.3. Fonctions convexes
tandis que
ϕ
a b
b c
, ϕ
a b
b c
= aa
+ bb
+ cc
.
c) Les matrices de la frontière de P 2 (R) sont les matrices semi-définies positives singulières ; mise à part la matrice nulle, il s’agit donc de matrices
de rang 1, i.e. du type
x 1
x 2
· [x 1 x 2 ] =
x 2
1 x 1 x 2
x 1 x 2 x 2
2
où x = (x 1 , x 2 ) est un élément non nul de R 2 .
En définitive, la frontière de P 2 (R) peut être décrite comme
a ±
√
ac
±
√ ac c
, a 0 et c 0
.
Remarque : On aurait pu utiliser
ψ : A :=
a b
b c
∈ S 2 (R) −→ ψ(A) := (a,
√
2 b, c) ∈ R
3
qui a l’avantage de conserver les produits scalaires usuels dans S 2 (R) et R 3 , ou
mieux, Ψ : A =
a b
b c
−→ Ψ(A) :=
1
√ 2
(2b, c − a, c + a) qui permet de représenter Ψ(P 2 (R)) par le cône de R 3 d’équation w
√
u 2 + v 2 et les éléments de
Ψ
x 1
x 2
· [x 1 x 2 ]
=
1
√ 2
⎛
⎜
⎝
2x 1 x 2
x 2
2 − x 2
1
x 2
2 + x 2
1
⎞
⎟
⎠ par la frontière de ce cône, d’équation :
w 2 = u 2 + v 2 , w 0.
** Exercice I.11. Soit A ∈ M n (R) symétrique et inversible, soit H un sousespace vectoriel de R n . Montrer qu’une condition nécessaire et suffisante pour
que A soit définie positive est :
(C)
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
Ax, x > 0 pour tout x ∈ H \ {0}
et
A −1 x, x > 0 pour tout x ∈ H ⊥ \ {0}.
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