Chapitre I. Révision de bases : calcul différentiel...
Réciproquement, soit B semi-définie négative et A ∈ P n (R). En décomposant A sous la forme
n
i=1
λ i x i x
i (avec λ 1 · · · λ n 0, valeurs propres
de A), on a
B, A = B,
n
i=1
λ i x i x
i =
n
i=1
λ i Bx i , x i 0.
D’où B ∈ [ P n (R)] ◦ .
Ce résultat [P n (R)] ◦ = −P n (R) apparaît ainsi comme la généralisation
de la relation de polarité (R n
+ ) ◦ = −R n
+ dans l’espace euclidien standard
(R n , ·, ··).
3 ◦ ) a)
A =
a b
b c
∈
◦
P 2 (R)
⇔ (a > 0 et ac − b
2 > 0) ;
A =
a b
b c
∈ P 2 (R)
⇔
a 0, c 0
et ac − b 2 0
.
b)
Figure 3.
P 1 = ϕ
1 0
0 0
P 2 = ϕ
1 0
0 1
P 3 = ϕ
1 1
1 1
Remarquons que le produit scalaire A, B n’est pas le produit scalaire usuel de ϕ(A) et ϕ(B) dans R 3 ; en effet
a b
b c
,
a b
b c
= aa
+ 2bb
+ cc
,
22
Réciproquement, soit B semi-définie négative et A ∈ P n (R). En décomposant A sous la forme
n
i=1
λ i x i x
i (avec λ 1 · · · λ n 0, valeurs propres
de A), on a
B, A = B,
n
i=1
λ i x i x
i =
n
i=1
λ i Bx i , x i 0.
D’où B ∈ [ P n (R)] ◦ .
Ce résultat [P n (R)] ◦ = −P n (R) apparaît ainsi comme la généralisation
de la relation de polarité (R n
+ ) ◦ = −R n
+ dans l’espace euclidien standard
(R n , ·, ··).
3 ◦ ) a)
A =
a b
b c
∈
◦
P 2 (R)
⇔ (a > 0 et ac − b
2 > 0) ;
A =
a b
b c
∈ P 2 (R)
⇔
a 0, c 0
et ac − b 2 0
.
b)
Figure 3.
P 1 = ϕ
1 0
0 0
P 2 = ϕ
1 0
0 1
P 3 = ϕ
1 1
1 1
Remarquons que le produit scalaire A, B n’est pas le produit scalaire usuel de ϕ(A) et ϕ(B) dans R 3 ; en effet
a b
b c
,
a b
b c
= aa
+ 2bb
+ cc
,
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