I.3. Fonctions convexes
Solution : 1 ◦ ) Soit A, B ∈ P n (R) et α ∈ [0, 1]. On a :
∀x ∈ R
n , (αA + (1 − α)B)x, x = αAx, x + (1 − α)Bx, x 0,
ce qui implique αA + (1 − α)B ∈ P n (R).
De même, il est immédiat de constater que αA ∈ P n (R) lorsque A ∈ P n (R)
et α > 0. Donc P n (R) est bien un cône convexe de S n (R).
Soit {A k } une suite d’éléments de P n (R) convergeant vers A. Outre le fait
– clair – que A ∈ S n (R), l’inégalité
A k x, x 0 pour tout x ∈ R
n ,
induit par passage à la limite sur k : Ax, x 0 pour tout x ∈ R n . Par
conséquent A ∈ P n (R). Et P n (R) est bien fermé dans S n (R).
Soit A ∈
◦
P n (R) et λ n > 0 la plus petite valeur propre de A. Rappelons à cet égard l’inégalité suivante (que l’on reverra dans l’Exercice 3.4) :
Ax, x λ n x 2 pour tout x ∈ R n . Soit à présent M ∈ S n (R). Puisque
M :=
M, M =
n
i=1
μ
2
i
1/2
(μ 1 . . . μ n , valeurs propres de M ),
il suffit de prendre M λ n pour être sûr d’avoir
(A + M )x, x (λ n + μ n ) x
2
0 pour tout x ∈ R
n ,
soit A + M ∈ P n (R). Donc A est bien à l’intérieur de P n (R).
Réciproquement, soit A à l’intérieur de P n (R). Il existe alors ε > 0 assez
petit tel que A − εI n ∈ P n (R). En conséquence, l’inégalité
(A − εI n )x, x 0 pour tout x ∈ R
n
induit
Ax, x ε x
2 pour tout x ∈ R
n ,
soit A ∈
◦
P n (R).
Le résultat de cette 1 re question explique la notation
◦
P n (R) utilisée pour
l’ensemble des matrices symétriques définies positives.
La frontière de P n (R) est donc constituée des matrices semi-définies positives qui sont singulières ; parmi celles-là figurent les matrices de rang 1,
c’est-à-dire du type xx avec x = 0.
2 ◦ ) Soit B ∈ S n (R) dans le cône polaire de P n (R). Puisque B, A 0
pour tout A ∈ P n (R), en particulier B, xx = Bx, x 0 pour tout x ∈
R n ; donc B est semi-définie négative.
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