Chapitre I. Révision de bases : calcul différentiel...
** Exercice I.10. Géométrie de l’ensemble des matrices symétriques
semi-définies positives
On part de S n (R), n 2, structuré en espace euclidien à l’aide du produit
scalaire fondamental (A, B) −→ → A, B := tr(AB). On désigne par P n (R)
(resp.
◦
P n (R)) l’ensemble de A ∈ S n (R) qui sont semi-définies positives (resp.
définies positives).
1 ◦ ) Montrer que P n (R) est un cône convexe fermé de S n (R) et que l’intérieur
de P n (R) est exactement
◦
P n (R).
2 ◦ ) Montrer que le cône polaire [P n (R)] ◦ de P n (R) n’est autre que −P n (R).
3 ◦ ) On suppose ici que n = 2.
a) Rappeler quelles conditions sur les réels a, b, et c sont nécessaires et
suffisantes pour que A =
a b
b c
soit semi-définie positive (resp. définie
positive).
b) On définit ϕ : S 2 (R) −→ R 3 par
A =
a b
b c
−→ ϕ(A) := (a, b, c).
Dans R 3 rapporté à un repère orthonormé (O; i, j, k), représenter
ϕ
1 0
0 0
, ϕ
1 0
0 1
, ϕ
1 1
1 1
et ϕ (P 2 (R)).
c) Montrer que toutes les matrices non nulles A =
a b
b c
se trouvant
sur la frontière de P 2 (R) sont de forme xx , où x est un élément non
nul de R 2 . En déduire une description des A =
a b
b c
se trouvant sur
cette frontière à l’aide de conditions sur les coefficients a, b, c de A.
Indication. Parmi les matrices de P n (R), il y a celles de la forme A = xx , avec
x ∈ R n \ {0}. Pour ces matrices A et un B ∈ S n (R), on note que A, B =
Bx, x.
De plus, si S ∈ S n (R), une décomposition spectrale de S est S =
n
i=1
λ i x i x
i ,
où les λ i sont les valeurs propres de A, x i ∈ R n est un vecteur propre unitaire
associé à λ i .
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** Exercice I.10. Géométrie de l’ensemble des matrices symétriques
semi-définies positives
On part de S n (R), n 2, structuré en espace euclidien à l’aide du produit
scalaire fondamental (A, B) −→ → A, B := tr(AB). On désigne par P n (R)
(resp.
◦
P n (R)) l’ensemble de A ∈ S n (R) qui sont semi-définies positives (resp.
définies positives).
1 ◦ ) Montrer que P n (R) est un cône convexe fermé de S n (R) et que l’intérieur
de P n (R) est exactement
◦
P n (R).
2 ◦ ) Montrer que le cône polaire [P n (R)] ◦ de P n (R) n’est autre que −P n (R).
3 ◦ ) On suppose ici que n = 2.
a) Rappeler quelles conditions sur les réels a, b, et c sont nécessaires et
suffisantes pour que A =
a b
b c
soit semi-définie positive (resp. définie
positive).
b) On définit ϕ : S 2 (R) −→ R 3 par
A =
a b
b c
−→ ϕ(A) := (a, b, c).
Dans R 3 rapporté à un repère orthonormé (O; i, j, k), représenter
ϕ
1 0
0 0
, ϕ
1 0
0 1
, ϕ
1 1
1 1
et ϕ (P 2 (R)).
c) Montrer que toutes les matrices non nulles A =
a b
b c
se trouvant
sur la frontière de P 2 (R) sont de forme xx , où x est un élément non
nul de R 2 . En déduire une description des A =
a b
b c
se trouvant sur
cette frontière à l’aide de conditions sur les coefficients a, b, c de A.
Indication. Parmi les matrices de P n (R), il y a celles de la forme A = xx , avec
x ∈ R n \ {0}. Pour ces matrices A et un B ∈ S n (R), on note que A, B =
Bx, x.
De plus, si S ∈ S n (R), une décomposition spectrale de S est S =
n
i=1
λ i x i x
i ,
où les λ i sont les valeurs propres de A, x i ∈ R n est un vecteur propre unitaire
associé à λ i .
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