I.3. Fonctions convexes
Le point M , barycentre des points M k affectés des coefficients α i , est dans
le domaine convexe D délimité par le graphe de θ et la droite M 1 M n (et même
dans le polygone convexe de sommets M 1 , M 2 ,..., M n ). Deux points de même
abscisse que M (abscisse notée λ) jouent un rôle particulier :
– le premier, M ∗ , est le point correspondant du graphe de θ;
– le second, M ∗ , est le point correspondant sur la droite M 1 M n .
Ainsi :
M est d’ordonnée
n
i=1
α i
1
λ i
; M ∗ est d’ordonnée
1
n
i=1
α i λ i
=
1
λ
;
M ∗ est d’ordonnée y(λ) =
1
λ 1
+
1
λ n
−
λ
λ 1 λ n
(par un calcul algébrique
facile).
Écrire que l’ordonnée de M est supérieure à celle de M ∗ conduit à
n
i=1
α i
1
λ i
1
λ
, soit
−1 y, y · ··y, y 1.
De même, écrivons que l’ordonnée de M ∗ est supérieure à celle de M :
n
i=1
α i
1
λ i
y(λ),
d’où
n
i=1
α i λ i
n
i=1
α i
1
λ i
λ y
λ
=
λ
λ 1 + λ n − λ
λ 1 λ n
·
Comme la fonction u −→
u (λ 1 + λ n − u)
λ 1 λ n
atteint son maximum pour
u =
λ 1 + λ n
2
, l’expression λ y
λ
est majorée par
λ 1 + λ n
2
2 1
λ 1 λ n
, soit
encore
1
4
λ 1
λ n
+
λ n
λ 1
+ 2
=
1
4
λ 1
λ n
+
λ n
λ 1
2
.
La deuxième inégalité dans (1.13) est donc démontrée.
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