Chapitre I. Révision de bases : calcul différentiel...
A
−1 = (
t P ΔP )
−1 =
t
P Δ
−1 P, ou Δ
−1 = diag(1/λ 1 , 1/λ 2 , . . . , 1/λ n ) ;
Ax, x =
t P ΔP x, x = Δ(P x), P x ;
A
−1 x, x = Δ
−1 (P x), P x.
La transformation P : x ∈ S := {x | | x = 1} −→ y = P x ∈ S est une
bijection de la sphère-unité euclidienne sur elle-même. Opérons alors le changement de variables y = P x. Il faut donc démontrer que pour tout vecteur
unitaire y de R n ,
1 y, y · ··
−1 y, y
1
4
λ 1
λ n
+
λ n
λ 1
2
.
(1.13)
Considérons pour cela le graphe (et ce qui est au-dessus, appelé l’épigraphe)
de la fonction θ : x > 0 −→ 1/x. (Il est supposé que λ n < λ 1 , sinon il n’y a
rien à démontrer.)
Figure 2.
Étant donné y = (y 1, ..., y n ) ∈ R n de norme 1, posons α i := y 2
i . Ainsi
y, y =
n
i=1
y 2
i λ i (resp. −1 y, y =
n
i=1
y 2
i
1
λ i
) est une combinaison convexe
des λ i (resp. des 1/λ i ).
Pour k = 1, 2, ..., n, soit M k le point du graphe de θ de coordonnées λ k
et 1/λ k .
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