I.3. Fonctions convexes
5 ◦ ) Avec U := [αu βv] et V :=
−u
−v
, on a
I 2 − V A
−1 U =
1 + α
A −1 u, u
β
A −1 u, v
α
A −1 u, v
1 + β
A −1 v, v
(∈ M 2 (R)) .
Cette matrice est inversible si et seulement si
d : = dét
I 2 − V A
−1 U
= (1 + α
A
−1 u, u
)(1 + β
A
−1 v, v
) − αβ(
A
−1 u, v
)
2
= 0.
Dans ce cas
I 2 − V A
−1 U
−1 =
1
d
1 + β
A −1 v, v
−β
A −1 u, v
−α
A −1 u, v
1 + α
A −1 u, u
.
L’application de la formule démontrée à la 1 re question conduit alors –
après quelques calculs, certes – à la formule annoncée.
** Exercice I.9. Inégalité de Kantorovitch
Soit A symétrique définie positive. Montrer que pour tout x ∈ R n
x
4
Ax, x · ·A
−1 x, x
1
4
λ 1
λ n
+
λ n
λ 1
2
x
4 ,
(1.12)
où λ 1 et λ n désignent respectivement la plus grande et la plus petite valeur
propre de A.
Indication. Il y a intérêt à diagonaliser A (et donc A −1 ). On utilisera ensuite les
propriétés de convexité de la fonction x > 0 −→ 1/x.
Solution : Par homogénéité, il suffit de démontrer l’inégalité (1.12) pour
x = 1.
Rangeons les valeurs propres de A par ordre décroissant : λ 1 λ 2 . . .
λ n , et considérons une matrice orthogonale P diagonalisant A :
A =
t P ΔP, avec Δ := diag(λ 1 , λ 2 , . . . , λ n ).
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