Chapitre I. Révision de bases : calcul différentiel...
on constate que ˜
A = A − uv (c’est fait pour !). Appliquons le résultat de la
2 e question : si
A −1 u
k
= 1, la matrice ˜
A est inversible et
k e colonne
↓
˜
A
−1 = A
−1 +
1
1 − (A −1 u) k
A
−1
⎡
⎢
⎣
u 1
0
. . . 0
u n
⎤
⎥
⎦ A
−1
=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
I n +
1
1 − (A −1 u) k
⎡
⎢
⎣
A −1 u
1
0
. . .
0
A −1 u
n
⎤
⎥
⎦
E k
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
A
−1 .
Explicitons ˜
A −1 =
˜
a
(−1)
ij
: E k est de la forme
k e colonne
↓
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
1 0 0
. . .
0 1 0
. . . 0
0 0 1
. . .
. . .
. . . 1 0 0
0
. . . 0 1 0
. . . 0 0 1
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
,
et ˜
A −1 = E k A −1 ; d’où :
˜
a
(−1)
k,j = a
(−1)
k,j
1
1 − (A −1 u) k
= a
(−1)
k,j
1
n
l=1
a
(−1)
kl
· ˜
a lk
;
si i = k, ˜
a
(−1)
i,j
= a
(−1)
ij
−
n
l=1
a
(−1)
il
·˜ a lk
n
l=1
a
(−1)
kl
·˜ a lk
a
(−1)
kj
= a
(−1)
ij
−
n
l=1
a
(−1)
il
· ˜
a lk
˜
a
(−1)
kj .
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