I.3. Fonctions convexes
Donc, si A −1 u, v = −1, la matrice A + uv est inversible avec
A + uv
−1
= A
−1
−
1
1 + A −1 u, v
A
−1 uv
A
−1 .
(1.9)
Cas particuliers :
A = I n : Si u, v = −1, I n + uv est inversible avec
I n + uv
−1
= I n −
1
1 + u, v
uv
.
(1.10)
A = I n , u = v : I n + uu est inversible avec
I n + uu
−1
= I n −
1
1+ u 2 uu
.
(1.11)
La formule (1.9) donne l’inverse d’une matrice perturbée par une matrice
de rang 1 ; on rappelle en liaison avec (1.10) le résultat suivant sur les déterminants :
dét
I n + uv
= 1 + u, v (à revoir si nécessaire) .
3 ◦ ) L’ensemble Ω des matrices n × n inversibles est un ouvert de M n (R).
Puisque A ∈ Ω, il existe donc ε > 0 tel que A + εI n ∈ Ω pour | ε | ε.
Appliquons le résultat de la 1 re question avec U = εI n et V = −I n :
(A + εI n )
−1 = A
−1
− εA
−1
I n + εA
−1
−1 A
−1 .
4 ◦ ) En prenant u =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
a 1k − ˜
a 1k
. . .
. . .
. . .
. . .
a nk − ˜
a nk
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
et v =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
0
. . .
0
1
0
. . .
0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
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