Chapitre I. Révision de bases : calcul différentiel...
Indication. Pour la 4 e question, on utilisera le résultat de la 2 e question avec
u =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
a 1k − ˜
a 1k
. . .
. . .
. . .
. . .
a nk − ˜
a nk
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
et v =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
0
. . .
0
1
0
. . .
0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
← k
e ligne.
Pour la 5 e question, on utilisera le résultat de la 1 re question avec U :=
[αu βv] ∈ M n,2 (R) et V :=
−u
−v
∈ M 2,n (R)].
Solution : UV ∈ M n (R), V A −1 U ∈ M m (R) par construction.
V
A
−1
U
V A
−1
U
n
n
n
m
m
1 ◦ ) Puisqu’on propose une expression E de (A − UV )
−1 , il suffit de vérifier
que (A − UV ) E = I n (ou bien E (A − UV ) = I n ).
On a :
(A − UV ) E = (A − UV )
A
−1 + A
−1 U
I m − V A
−1 U
−1 V A
−1
= AA
−1 + AA
−1 U
I m − V A
−1 U
−1 V A
−1
− UV A
−1
− UV A
−1 U
I m − V A
−1 U
−1 V A
−1
= I n − UV A
−1 + U
I m − V A
−1 U
I m − V A
−1 U
−1 V A
−1
= I n − UV A
−1 + UV A
−1 = I n .
2 ◦ ) On se place dans le cas où m = 1 : −u et v sont dans R n ≡ M n,1 (R),
et la condition « I m − V A −1 U est inversible » revient à « 1 + v, A −1 u = 0 ».
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