I.3. Fonctions convexes
soit
0 f x (x
) −
1
2L
∇f x (x
)
2
ce qui n’est autre que l’inégalité (ii) .
[(ii) ⇒ (iii)]. On écrit (ii) pour (x, x ) et (x , x) successivement, et on additionne membre à membre les inégalités pour obtenir (iii) .
[(iii) ⇒ (i)]. Résulte de l’inégalité de Cauchy-Schwarz.
** Exercice I.8. Soit A ∈ M n (R) inversible, V ∈ M m,n (R) et U ∈ M n,m (R).
On suppose que I m − V A −1 U est inversible.
1 ◦ ) Montrer que A − UV est alors inversible, avec
(A − UV )
−1 = A
−1 + A
−1 U
I m − V A
−1 U
−1 V A
−1 .
2 ◦ ) Application 1. Soit u, v ∈ R n . Quelle condition assurerait que A + uv
est inversible ? Quelle est alors l’inverse de A + uv ?
3 ◦ ) Application 2. Rappeler pourquoi A + εI n est inversible pour | ε | suffisamment petit ; donner alors une expression de (A + εI n )
−1 .
4 ◦ ) Application 3. On remplace dans A la k e colonne
⎛
⎜
⎝
a 1k
. . .
a nk
⎞
⎟
⎠ par
⎛
⎜
⎝
˜
a 1k
. . .
˜
a nk
⎞
⎟
⎠ ,
et on appelle ˜
A la nouvelle matrice ainsi obtenue. Exprimer ˜
A −1 sous la forme
E k A −1 , où E k est une matrice que l’on déterminera ; en déduire l’expression des
termes ˜
a
(−1)
ij
de ˜
A −1 en fonction de ceux a
(−1)
kl
de A −1 .
5 ◦ ) Application 4. On suppose ici que A est de plus symétrique. Soit u et v
dans R n , α et β des réels ; on se propose de déterminer l’inverse de A + αuu +
βvv .
On pose d := (1 + α
A −1 u, u
)(1 + β
A −1 v, v
) − αβ(
A −1 u, v
) 2 . Montrer
que A + αuu + βvv est inversible dès lors que d = 0, avec
A + αuu
+ βvv
−1
= A
−1
−
1
d
α(1 + β
A
−1 v, v
)A
−1 uu
A
−1
+ β(1 + α
A
−1 u, u
)A
−1 vv
A
−1
−αβ
A
−1 u, v
A
−1 vu
A
−1 + A
−1 uv
A
−1
.
13