Chapitre I. Révision de bases : calcul différentiel...
*** Exercice I.7. Soit f : R n −→ R convexe et différentiable sur R n . Montrer
l’équivalence des trois propriétés suivantes (où L est une constante > 0) :
(i) ∇f (x) − ∇f (x ) L x − x pour tout x,x (∇f est L-lipschitzienne
sur R n ).
(ii)f (x ) − f (x) − −∇f (x), x − x
1
2L ∇f (x) − ∇f (x ) 2 pour tout x, x .
(iii)∇f (x) − ∇f (x ), x − x
1
L ∇f (x) − ∇f (x ) 2 pour tout x, x .
Indication. Pour [(i) ⇒ (ii)] on pourra considérer :
f x : y −→ f (y) − f (x) − −∇f (x), y − x.
Solution : [(i) ⇒ (ii)]. Soit (x, x ) ∈ R n × R n et montrons que l’inégalité (ii)
est vérifiée pour ce couple de points. Considérons
f x : y ∈ R
n
−→ f x (y) := f (y) − f (x) − −∇f (x), y − x.
Il est clair que f x est convexe avec ∇f x L-lipschitzienne sur R n (puisque
∇f x = ∇f − ∇f (x)). Par conséquent, pour tout y ∈ R n ,
f x (y) = f x (x
) +
1
0
∇f x (x
+ t(y − x
)), y − x
dt
= f x (x
)+∇f x (x
), y−x
+
1
0
∇f x (x
+t(y−x
))−∇f x (x
), y−x
dt
f x (x
) + ∇f x (x
), y − x
+
1
0
tL y − x
2 dt
f x (x
) + ∇f x (x
), y − x
+
L
2
y − x
2 .
(1.8)
Le point x minimise f x sur R n . Par suite
0 = f x (x) f x
x
−
∇f x (x )
L
.
D’après l’inégalité (1.8) dans laquelle on fait y = x −
∇f x (x )
L
(0 ) f x
x
−
∇f x (x )
L
f x (x
) −
1
L
∇f x (x
), ∇f x
x
+
L
2
∇f x (x )
L
2
,
12