I.3. Fonctions convexes
En x ∈ R n \ {0} minimisant (ou maximisant) f sur R n \ {0}, on a nécessairement ∇f (x) = 0, soit Ax = f (x) x ; de tels x sont donc des vecteurs propres
associés à la valeur propre f (x) (à suivre dans l’Exercice III.4).
** Exercice I.6. Soit M m,n (R) structuré en espace euclidien grâce au produit
scalaire M, N := tr
M N
et soit B ∈ S n (R).
On définit f, g : M m,n (R) −→ R par
f (A) := tr
ABA
et g(A) := dét
ABA
respectivement.
Déterminer les différentielles (premières) et les gradients de f et g en tout
A ∈ M m,n (R).
Solution : f peut être vue comme f 2 ◦ f 1 , où
f 1 : A −→ f 1 (A) := ABA et f 2 : C −→ f 2 (C) := tr C.
Puisque f 1 (A + H) = f 1 (A) + HBA + ABH + HBH , il vient que f 1 est
différentiable en A avec Df 1 (A) : H → [Df 1 (A)] (H) = HBA + ABH .
Quant à f 2 qui est linéaire (continue), Df 2 (C) = f 2 . Il s’ensuit :
Df (A) : H −→ [Df (A)] (H) = tr
HBA
+ ABH
= 2 tr(ABH
)
car tr(HBA ) = tr(ABH )
en raison de la symétrie de B
= 2 AB, H .
D’où ∇f (A) = 2AB.
Si f 3 : C ∈ S m (R) −→ f 3 (C) := dét C, on a g = f 3 ◦ f 1 par définition
même de g. L’application f 3 est différentiable et
Df 3 (C) : K → [Df 3 (C)] (K) = tr ((cof C) K) (cf. Exercice 1.4)
Par suite :
Dg (A) : H −→ [Dg (A)] (H) = 2 tr
cof
ABA
ABH
= 2 cof
ABA
AB, H
et ∇g(A) = 2 cof
ABA
AB.
En particulier, ∇g(A) · A = 2 cof
ABA
ABA = 2dét
ABA · I m .
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En x ∈ R n \ {0} minimisant (ou maximisant) f sur R n \ {0}, on a nécessairement ∇f (x) = 0, soit Ax = f (x) x ; de tels x sont donc des vecteurs propres
associés à la valeur propre f (x) (à suivre dans l’Exercice III.4).
** Exercice I.6. Soit M m,n (R) structuré en espace euclidien grâce au produit
scalaire M, N := tr
M N
et soit B ∈ S n (R).
On définit f, g : M m,n (R) −→ R par
f (A) := tr
ABA
et g(A) := dét
ABA
respectivement.
Déterminer les différentielles (premières) et les gradients de f et g en tout
A ∈ M m,n (R).
Solution : f peut être vue comme f 2 ◦ f 1 , où
f 1 : A −→ f 1 (A) := ABA et f 2 : C −→ f 2 (C) := tr C.
Puisque f 1 (A + H) = f 1 (A) + HBA + ABH + HBH , il vient que f 1 est
différentiable en A avec Df 1 (A) : H → [Df 1 (A)] (H) = HBA + ABH .
Quant à f 2 qui est linéaire (continue), Df 2 (C) = f 2 . Il s’ensuit :
Df (A) : H −→ [Df (A)] (H) = tr
HBA
+ ABH
= 2 tr(ABH
)
car tr(HBA ) = tr(ABH )
en raison de la symétrie de B
= 2 AB, H .
D’où ∇f (A) = 2AB.
Si f 3 : C ∈ S m (R) −→ f 3 (C) := dét C, on a g = f 3 ◦ f 1 par définition
même de g. L’application f 3 est différentiable et
Df 3 (C) : K → [Df 3 (C)] (K) = tr ((cof C) K) (cf. Exercice 1.4)
Par suite :
Dg (A) : H −→ [Dg (A)] (H) = 2 tr
cof
ABA
ABH
= 2 cof
ABA
AB, H
et ∇g(A) = 2 cof
ABA
AB.
En particulier, ∇g(A) · A = 2 cof
ABA
ABA = 2dét
ABA · I m .
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