Chapitre I. Révision de bases : calcul différentiel...
4 ◦ ) L’application A −→cof A est différentiable car chacune de ses applicationscomposantes (qui sont des déterminants) est différentiable ; il s’ensuit que l’application f −1 : A −→ A
−1 =
(cofA)
détA
est différentiable. Le calcul de la différentielle de f −1 en A se fait rapidement à partir de la relation
f 1 (A)f −1 (A) = I n pour tout A ∈ Ω,
que l’on différentie. On trouve :
Df −1 (A) : H −→ [D f −1 (A)] H = −A
−1 HA
−1 .
5 ◦ ) L’application qui à (A 1 , . . . , A p ) ∈ M n (R) × . . . × M n (R) associe le produit A 1 A 2 . . . A p est multilinéaire (continue) ; elle est donc différentiable et sa
différentielle en (A 1 , . . . , A p ) est :
(H 1 , . . . , H p ) −→
p
i=1
A 1 . . . A i−1 H i A i+1 . . . A p .
Il s’ensuit alors :
Df p (A) : H −→ [Df p (A)] (H) =
p
i=1
A
i−1 HA
p−i pour tout A ∈ M n (R) ;
Df −p (A) : H −→ [Df −p (A)] (H) = −
p
i=1
A
−i HA
i−1−p pour tout A ∈ Ω.
** Exercice I.5. Soit A ∈ S n (R) et f : x ∈ R
n
\ {0} −→ f (x) :=
Ax, x
x 2 . Calculer ∇f (x) en x = 0 et le comparer à la projection orthogonale de Ax sur le
sous-espace vectoriel H x orthogonal à x.
Solution : On a aisément ∇f (x) =
2
x 2 [Ax − f (x)x] .
La décomposition Ax =
Ax −
Ax, x
x 2 x
+
Ax, x
x 2 x est la décomposition
orthogonale de Ax suivant H x et (H x )
⊥ = Rx. Donc, ∇f (x) est au coefficient
multiplicatif
2
x 2 près la projection orthogonale de Ax sur H x .
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