I.3. Fonctions convexes
Lorsque l est la différentielle Df (x 0 ) d’une fonction f : Ω ⊂ M n (R) −→ R
différentiable en x 0 ∈ Ω, son représentant M dans M n (R) est le gradient de f en
x 0 (et est noté ∇f (x 0 )).
Bien maîtriser le calcul différentiel sur les fonctions de matrices est essentiel
en Analyse matricielle, Optimisation et (surtout) Statistique.
Solution : 1 ◦ ) A −→ trA est linéaire (continue) ; donc sa différentielle en tout
A ∈ M n (R) est elle-même :
D tr (A) : H −→ trH = I n , H .
Par conséquent
∇ tr (A) = I n pour tout A ∈ M n (R).
2 ◦ ) L’application dét peut être vue comme une application multilinéaire (continue) de M n (R) ≡ R n × · · · × R n dans R. Elle est donc différentiable en tout
A =
a 1 , ..., a n
avec
D dét (A) : H =
h
1 , ..., h
n
−→
n
j=1
dét
a
1 , ..., a
j−1 , h
j , a
j+1 , ..., a
n
.
En développant dét
a 1 , ..., a j−1 , h j , a j+1 , ..., a n
par rapport à la j e colonne, on
obtient :
dét
a
1 , ..., a
j−1 , h
j , a
j+1 , ..., a
n
=
n
i=1
h
j
i (cofA) ij ,
où cof A désigne la matrice des cofacteurs de A. Il s’ensuit :
[D dét(A)] (H) =
n
i,j=1
h
j
i (cofA) ij = cofA, H .
En définitive,
∇dét(A) = cofA en tout A ∈ M n (R).
3 ◦ ) Par application du théorème de composition des applications différentiables, g est différentiable et
Dg(A) : H −→
cofA, H
dét A
=
A
−1
, H .
Donc
∇g(A) =
A
−1
en tout A ∈ Ω.
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