Chapitre I. Révision de bases : calcul différentiel...
Solution : 1 ◦ ) La fonction u ∈ R −→ (u + )
2 est dérivable une fois, mais pas
deux fois (d’accord ?). Par suite, g est différentiable sur R n et
∇g(x) = 2
m
i=1
f
+
i (x) · ∇f i (x) pour tout x ∈ R
n .
Mais, en général, g n’est pas deux fois différentiable en les points x où l’un des
f i s’annule.
Lorsque les f i sont de classe C 2 , la fonction g est dans une classe intermédiaire entre C 2 (R n ) et C 1 (R n ), celle des fonctions différentiables dont le gradient est localement lipschitzien.
2 ◦ ) ∇g(u) = A
0 ∇f (Au) ; ∇ 2 g(u) = A
0 ∇ 2 f (Au)A 0 .
Application : A : R −→ R n définie par At := x 0 + td. Comme A 0 : t −→ A 0 t =
td, nous avons A
0 : R n −→ R qui à x ∈ R n associe x, d. Par conséquent, les
éléments de R que sont les dérivées première et seconde (usuelles) de ϕ sont
données par :
ϕ
(t) = ∇f (x 0 + td), d,
ϕ
(t) = ∇
2 f (x 0 + td)d, d.
** Exercice I.4. Soit M n (R) structuré en espace euclidien grâce au produit scalaire A, B := tr
A B
; soit Ω l’ouvert de M n (R) constitué des matrices
inversibles. On considère les applications suivantes :
1
◦ ) tr : A ∈ M n (R) −→ trA ∈ R
2
◦ ) dét : A ∈ M n (R) −→ détA ∈ R
3
◦ ) g : A ∈ Ω −→ g(A) := ln|détA| ∈ R
4
◦ ) f −1 : A ∈ Ω −→ f −1 (A) := A
−1
∈ Ω
5
◦ ) p ∈ N
∗ , f p : A ∈ M n (R) −→ f p (A) := A
p
∈ M n (R)
f −p : A ∈ Ω −→ f −p (A) := A
−p
∈ Ω.
Indiquer rapidement pourquoi ces applications sont différentiables. Déterminer en tout point de leurs domaines de définition le gradient pour les trois
premières et la différentielle pour les dernières.
Commentaire : Si l : M n (R) −→ R est linéaire (l est une forme linéaire sur
M n (R) donc), l est continue et il existe un unique M ∈ M n (R) tel que
l(H) = M, H pour tout H ∈ M n (R).
8
Solution : 1 ◦ ) La fonction u ∈ R −→ (u + )
2 est dérivable une fois, mais pas
deux fois (d’accord ?). Par suite, g est différentiable sur R n et
∇g(x) = 2
m
i=1
f
+
i (x) · ∇f i (x) pour tout x ∈ R
n .
Mais, en général, g n’est pas deux fois différentiable en les points x où l’un des
f i s’annule.
Lorsque les f i sont de classe C 2 , la fonction g est dans une classe intermédiaire entre C 2 (R n ) et C 1 (R n ), celle des fonctions différentiables dont le gradient est localement lipschitzien.
2 ◦ ) ∇g(u) = A
0 ∇f (Au) ; ∇ 2 g(u) = A
0 ∇ 2 f (Au)A 0 .
Application : A : R −→ R n définie par At := x 0 + td. Comme A 0 : t −→ A 0 t =
td, nous avons A
0 : R n −→ R qui à x ∈ R n associe x, d. Par conséquent, les
éléments de R que sont les dérivées première et seconde (usuelles) de ϕ sont
données par :
ϕ
(t) = ∇f (x 0 + td), d,
ϕ
(t) = ∇
2 f (x 0 + td)d, d.
** Exercice I.4. Soit M n (R) structuré en espace euclidien grâce au produit scalaire A, B := tr
A B
; soit Ω l’ouvert de M n (R) constitué des matrices
inversibles. On considère les applications suivantes :
1
◦ ) tr : A ∈ M n (R) −→ trA ∈ R
2
◦ ) dét : A ∈ M n (R) −→ détA ∈ R
3
◦ ) g : A ∈ Ω −→ g(A) := ln|détA| ∈ R
4
◦ ) f −1 : A ∈ Ω −→ f −1 (A) := A
−1
∈ Ω
5
◦ ) p ∈ N
∗ , f p : A ∈ M n (R) −→ f p (A) := A
p
∈ M n (R)
f −p : A ∈ Ω −→ f −p (A) := A
−p
∈ Ω.
Indiquer rapidement pourquoi ces applications sont différentiables. Déterminer en tout point de leurs domaines de définition le gradient pour les trois
premières et la différentielle pour les dernières.
Commentaire : Si l : M n (R) −→ R est linéaire (l est une forme linéaire sur
M n (R) donc), l est continue et il existe un unique M ∈ M n (R) tel que
l(H) = M, H pour tout H ∈ M n (R).
8