I.3. Fonctions convexes
Solution :
1 ◦ ) ∇f (x) = c, ∇ 2 f (x) = 0 pour tout x ∈ R n .
2 ◦ ) JF (x) = L (L est la partie linéaire de la fonction affine F ).
3 ◦ ) ∇f (x) =
1
2
A + A
x + d, ∇f (x) = Ax + d si A est symétrique.
∇ 2 f (x) =
1
2
A + A
, ∇ 2 f (x) = A si A est symétrique.
4 ◦ ) ∇g(x) = 2
m
i=1
r i (x)∇r i (x),
∇ 2 g(x) = 2
m
i=1
∇r i (x) [∇r i (x)]
+ r i (x)∇
2 r i (x)
.
Ainsi, si (r 1 (x), ..., r m (x)) est « proche de 0 dans R m », on peut considérer que 2
m
i=1
∇r i (x) [∇r i (x)]
est une « bonne » approximation de ∇ 2 g(x) ;
approximation qui, de plus, ne fait appel qu’aux gradients des fonctions r i .
* Exercice I.3.
Situations :
Questions :
1 ◦ ) g : R n −→ R
x −→ g(x) :=
m
i=1
f
+
i (x)
2 ,
où les f i : R n −→ R sont deux
fois différentiables et a + désigne max
(0, a).
g est-elle différentiable deux fois
différentiable ?
2 ◦ )
R
n
R
m
R
A
f
g := f ◦ A
où A : u −→ Au = A 0 u + b, avec
A 0 ∈ M m,n (R), et f deux fois différentiable.
Déterminer ∇g, ∇ 2 g en fonction des
éléments correspondants ∇f et ∇ 2 f .
Application : Soit : R n −→ R deux
fois différentiable, x 0 ∈ R n , d ∈ R n .
On pose ϕ (t) := f (x 0 + td).
Calculer ϕ (t) (resp. ϕ (t)) en fonction de ∇f (x 0 + td) (resp. ∇ 2 f (x 0 +
td)).
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