Chapitre I. Révision de bases : calcul différentiel...
Il s’ensuit grâce à l’hypothèse faite sur ∇f :
||∇f (x + td) − ∇f (x), d| ∇f (x + td) − ∇f (x) · · d
tL d
2 ,
d’où :
|f (x + d) − f (x) − −∇f (x), d|
1
0
(tL d
2 )dt =
L
2
d
2 .
Commentaire :
– Prolongement de l’exercice. On suppose à présent que f est deux fois différentiable sur R n . Comment traduire alors en termes de ∇ 2 f l’hypothèse dans la
3 e question ? Proposer ensuite une démonstration de l’inégalité de la 3 e question
qui s’appuie sur une autre formule de Taylor.
– Il importe de bien assimiler ce que représentent géométriquement les objets
∇f (x) et ∇ 2 f (x) vis-à-vis des surfaces de niveau et du graphe de f .
* Exercice I.2.
Situations :
À déterminer :
1 ◦ ) f : R n −→ R
∇f (x), ∇ 2 f (x) en tout point x.
x −→ f (x) := c, x + γ.
2 ◦ ) F : R n −→ R m
JF (x).
x −→ F (x) := Lx + b, où L ∈ M m,n (R).
3 ◦ ) f : R n −→ R
∇f (x), ∇ 2 f (x).
x −→ f (x) :=
1
2 Ax, x + d, x + δ,
où A ∈ M n (R).
4 ◦ ) g : R n −→ R
∇g(x), ∇ 2 g(x).
x −→ g(x) :=
m
i=1
[r i (x)]
2 ,
où les r i : R n −→ R sont deux
fois différentiables.
Commentaire : Ne pas se lancer tête baissée dans le calcul de dérivées partielles !
Pour les fonctions de base que sont les fonctions affines, quadratiques, sommes
de carrés, etc., il faut savoir déterminer ∇f (x), ∇ 2 f (x) rapidement et sans erreur,
« mécaniquement » presque.
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