I.3. Fonctions convexes
Solution : 1 ◦ ) ∇f (x 0 ) est un vecteur normal à S en x 0 ; le sous-espace tangent
à S en x 0 est orthogonal à ∇f (x 0 ).
2 ◦ ) Soit grf := {(x, f (x)) | x ∈ R n } le graphe de f (partie de R n+1 donc).
Le sous-espace affine tangent à grf en (x 0 , f(x 0 )) a pour équation
y = f (x 0 ) + ∇f (x 0 ), x − x 0 .
Un vecteur normal à cet hyperplan est fourni par (∇f (x 0 ), −1) ∈ R n × R.
On peut voir aussi grf comme la surface de niveau 0 de la fonction
g : (x, r) ∈ R
n
× R −→ g(x, r) := f (x) − r.
Comme ∇g (x 0 , f(x 0 )) = (∇f (x 0 ), −1) n’est jamais nul, le vecteur
(∇f (x 0 ), −1) est normal à grf en (x 0 , f(x 0 )) .
Figure 1.
3 ◦ ) f étant continûment différentiable, on a grâce à la formule de Taylor à
l’ordre zéro avec reste sous forme d’intégrale
f (x + d) = f (x) +
1
0
∇f (x + td), ddt.
Sachant que ∇f (x), d =
1
0
∇f (x), ddt, on transforme l’expression précédente en
f (x + d) − f (x) − −∇f (x), d =
1
0
∇f (x + td) − ∇f (x), ddt.
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