Chapitre I. Révision de bases : calcul différentiel...
(ii) f est strictement convexe sur C si et seulement si l’inégalité (1.6) est stricte
dès que x = x ;
(iii) f est fortement convexe sur C de module c si et seulement si
f (x) f (x) + ∇f (x) , x − x +
1
2
c x − x
2 , pour tout (x, x) ∈ C × C. (1.7)
Th´ eor` eme. Soit f deux fois différentiable sur un ouvert convexe O. Alors :
(i) f est convexe sur O si et seulement si ∇ 2 f (x) est semi-définie positive
pour tout x ∈ O ;
(ii) Si ∇ 2 f (x) est définie positive pour tout x ∈ O, alors f est strictement
convexe sur O ;
(iii) f est fortement convexe sur O de module c si et seulement si la plus
petite valeur propre de ∇ 2 f (x) est minorée sur O par c , soit encore :
∇
2 f (x) d, d c d
2 pour tout x ∈ O et tout d ∈ R
n .
Références. Parmi les exercices de [15] figurent des applications simples à l’Analyse numérique matricielle et l’Optimisation. Outre les références suggérées en
pp. 305 307 de [15] (et rééditées à présent), signalons [16], ouvrage complet et très
diffusé, dans lequel l’aspect matriciel (celui qui prévaut dans les applications) est
privilégié.
Pour les fonctions convexes différentiables, on pourra consulter [12], Chapitre IV, Section 4, par exemple.
* Exercice I.1. Soit f : R n −→ R continûment différentiable.
1 ◦ ) Soit x 0 tel que ∇f (x 0 ) = 0. Que représente ∇f (x 0 ) pour la surface de
niveau S := {x ∈ R n | f (x) = f (x 0 )} ?
2 ◦ ) Rappeler l’équation de l’hyperplan affine (de R n+1 ) tangent au graphe
de f en (x 0 , f(x 0 )) .
Donner à l’aide de ∇f (x 0 ) un vecteur normal à cet hyperplan.
3 ◦ ) On suppose qu’il existe L > 0 tel que
∇f (x) − ∇f
x
L x − x
pour tout
x, x
∈ R
n
× R
n .
Montrer qu’alors
|f (x + d) − f (x) − −∇f (x), d|
L
2
d
2 pour tout (x, d) ∈ R
n
× R
n .
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(ii) f est strictement convexe sur C si et seulement si l’inégalité (1.6) est stricte
dès que x = x ;
(iii) f est fortement convexe sur C de module c si et seulement si
f (x) f (x) + ∇f (x) , x − x +
1
2
c x − x
2 , pour tout (x, x) ∈ C × C. (1.7)
Th´ eor` eme. Soit f deux fois différentiable sur un ouvert convexe O. Alors :
(i) f est convexe sur O si et seulement si ∇ 2 f (x) est semi-définie positive
pour tout x ∈ O ;
(ii) Si ∇ 2 f (x) est définie positive pour tout x ∈ O, alors f est strictement
convexe sur O ;
(iii) f est fortement convexe sur O de module c si et seulement si la plus
petite valeur propre de ∇ 2 f (x) est minorée sur O par c , soit encore :
∇
2 f (x) d, d c d
2 pour tout x ∈ O et tout d ∈ R
n .
Références. Parmi les exercices de [15] figurent des applications simples à l’Analyse numérique matricielle et l’Optimisation. Outre les références suggérées en
pp. 305 307 de [15] (et rééditées à présent), signalons [16], ouvrage complet et très
diffusé, dans lequel l’aspect matriciel (celui qui prévaut dans les applications) est
privilégié.
Pour les fonctions convexes différentiables, on pourra consulter [12], Chapitre IV, Section 4, par exemple.
* Exercice I.1. Soit f : R n −→ R continûment différentiable.
1 ◦ ) Soit x 0 tel que ∇f (x 0 ) = 0. Que représente ∇f (x 0 ) pour la surface de
niveau S := {x ∈ R n | f (x) = f (x 0 )} ?
2 ◦ ) Rappeler l’équation de l’hyperplan affine (de R n+1 ) tangent au graphe
de f en (x 0 , f(x 0 )) .
Donner à l’aide de ∇f (x 0 ) un vecteur normal à cet hyperplan.
3 ◦ ) On suppose qu’il existe L > 0 tel que
∇f (x) − ∇f
x
L x − x
pour tout
x, x
∈ R
n
× R
n .
Montrer qu’alors
|f (x + d) − f (x) − −∇f (x), d|
L
2
d
2 pour tout (x, d) ∈ R
n
× R
n .
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