Chapitre VII. Initiation au calcul sous-différentiel et de transformées...
Par suite, lim inf t→0 + F (x, t) sup y∈R n {{x, y − f ∗ (y)} = f (x).
En conclusion :
lim
t→0 +
F (t, x) = f (x) pour tout x ∈ R
n .
2 ◦ ) Reprenons la décomposition H = H 1 + H 2 du 1 ◦ a) : H 1 ∈ Γ 0 (R n × R)
et dom H 1 = (dom f ∗ ) × R, tandis que H 2 ∈ Γ 0 (R n × R) et dom H 2 =
{(y, s) ∈ R n × R | θ ∗ (y) + s 0} . Puisque θ ∗ est partout finie sur R n , les intérieurs relatifs de dom H 1 et de dom H 2 se coupent ; cela est suffisant pour
garantir (H 1 +H 2 ) ∗ = H ∗
1 H ∗
2 et l’exactitude de cette dernière inf-convolution.
Ainsi, pour (x, t) ∈ dom F , il existe (z, u) ∈ R n × R tel que
F (x, t) = H
∗
1 (x − z, t − u) + H
∗
2 (z, u) ;
(7.53)
de plus
∂F (x, t) = ∂H
∗
1 (x − z, t − u) ∩ ∂H
∗
2 (z, u).
(7.54)
Explicitons ces résultats (7.53) et (7.54) . On a par de simples calculs :
H
∗
1 (w, r) = f (w) si r = 0, +∞ sinon ;
(7.55)
H
∗
2 (w, r) = rθ
w
r
si r > 0.
(7.56)
On en déduit que u = t dans (7.53) et
∂F (x, t) = ∂H
∗
1 (x − z, 0) ∩ ∂H
∗
2 (z, t).
(7.57)
Précisons les choses en prenant (x, t) ∈ int(dom F ) (⊂ R n × ]0, +∞[) :
— La fonction convexe F est continue en (x, t), donc ∂F (x, t) = ∅ ; il vient
alors avec (7.57) que ∂H ∗
2 (z, t) = ∅.
— De par la relation (7.56) liant H ∗
2 à θ, et sachant que θ est différentiable
en tout point où elle admet des sous-gradients (c’est l’hypothèse (7.48)), on a :
∂H
∗
2 (z, t) =
∇θ
z
t
×
θ
z
t
−
1
t
∇θ
z
t
, z
.
— De par la relation (7.55), on a toujours :
∂H
∗
1 (x − z, 0) = ∂f (x − z) × R.
Ces informations permettent de conclure avec (7.57) :
— que ∂F (x, t) est réduit à un seul élément, c’est-à-dire F est différentiable
en (x, t) ;
— que ∇ x F (x, t) = ∇θ
z
t
et
∂F
∂t
(x, t) = θ
z
t
−
1
t
∇θ
z
t
, z
.
320