VII.3. La convexification d’une fonction
Dans cette dernière relation, observons que
θ
z
t
−
1
t
∇θ
z
t
, z
= −θ
∗
∇θ
z
t
,
d’où finalement :
∂F
∂t
(x, t) = −θ
∗ (∇ x F (x, t)).
3 ◦ ) Avec θ ∗ =
1
2 ··
2 , on a θ =
1
2
2 : toutes les hypothèses (7.46) et (7.48)
sont vérifiées ; des solutions de l’équation (7.49) correspondant à la condition
initiale f sont données (sur un ouvert de R n × ]0, +∞[) par :
(x, t) −→ inf
u∈R n
f (u) +
x − u
2
2t
.
(7.58)
Avec θ ∗ =
1 + ··
2 , on a
θ : x ∈ R
n
−→ θ(x) = −
1 − −x
2 si x 1, +∞ sinon.
(cf. Exercice VII.7 et Exercice VII.3 si nécessaire).
Toutes les hypothèses faites sur θ dans l’exercice, notamment (7.48), sont
vérifiées ; des solutions de l’équation (7.50) correspondant à la condition initiale
f sont données (sur un ouvert de R n × ]0, +∞[) par :
(x, t) −→ inf
u−xt
f (u) −
t 2 − −x − u
2
.
(7.59)
Commentaire : L’expression de F (·, t) comme inf-convolution de f et de tθ
·
t
est connue sous le nom de formule de Lax et Oleinik.
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