Chapitre VII. Initiation au calcul sous-différentiel et de transformées...
Vérifier que, pour tout x ∈ R n ,
F (x, t) → f (x) quand t → 0
+ .
(7.47)
2 ◦ ) Outre les hypothèses de (7.46), on suppose :
θ est différentiable en tout point où elle admet des sous-gradients. (7.48)
Montrer qu’alors F est différentiable en tout point (x, t) de int(dom F)
(⊂ R n × ]0, +∞[) et y vérifie
∂F
∂t
(x, t) + θ
∗ (∇ x F (x, t)) = 0.
3 ◦ ) Exemples. Donner des formes explicites de solutions d’équations de
Hamilton-Jacobi suivantes :
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
∂F
∂t
+
1
2
∇ x F
2 = 0,
lim
t→0 +
F (·, t) = F (·, 0) = f.
(7.49)
⎧
⎨
⎩
∂F
∂t
+
1 + ∇ x F
2 = 0,
lim t→0 + F (·, t) = F (·, 0) = f.
(7.50)
(Dans ces équations, ·· désigne la norme euclidienne usuelle de R n .)
Solution : 1 ◦ ) a) Décomposons H en somme de deux fonctions H 1 et H 2 plus
maniables ; soient
H 1 : (y, s) ∈ R
n
× R −→ H 1 (y, s) := f
∗ (y)
H 2 : (y, s) ∈ R
n
× R −→ H 2 (y, s) := I R − (θ
∗ (y) + s).
H 1 ne dépend que de y, dom H 1 = (dom f ∗ ) × R, et puisque f ∗ ∈ Γ 0 (R n ) il va
de soi que H 1 ∈ Γ 0 (R n × R).
H 2 est la composée de la fonction r −→ I R − (r) qui est dans Γ 0 (R) et croissante, avec la fonction (y, s) −→ θ ∗ (y)+s qui est visiblement dans Γ 0 (R n ×R) ;
il s’ensuit aisément que H 2 ∈ Γ 0 (R n × R). De plus, pour tout y ∈ dom f ∗ , le
couple (y, −θ ∗ (y)) est à la fois dans le domaine de H 1 et dans celui de H 2 . Pas
de doute : H = H 1 + H 2 est bien une fonction de Γ 0 (R n × R).
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