VII.3. La convexification d’une fonction
Commentaire :
– Un problème analogue à (Q) est le problème (R) suivant (toujours dans
R n+1 ) :
(R)
Maximiser h(x) − y
sous la contrainte : (x, y) ∈ R n × R, g(x) y.
Alors, (R) est équivalent à (P) au sens suivant :
– si (x, y) est solution de (R), alors x est solution de (P) et y = g(x) ;
– si x est solution de (P), alors (x, g(x)) est solution de (R).
(Q) et (R) ressemblent à des problèmes de minimisation convexe, mais l’une
des convexités (dans la définition de la contrainte ou dans la fonction-objectif)
est « à rebours ».
— L’association de f ♦ := h ∗ − g ∗ à f = g − h se trouve fort productive
quant à la comparaison de points T-critiques, de valeurs optimales, etc. ; en plus,
différentes décompositions de f en g − h donnent lieu à différents f ♦ .
*** Exercice VII.28. Soit f ∈ Γ 0 (R n ), soit θ ∈ Γ 0 (R n ) vérifiant les hypothèses
suivantes :
θ est finie en 0 ; lim
x→+∞
θ(x)
x
= +∞.
(7.46)
On se propose dans cet exercice de donner des formes explicites de solutions
d’équations aux dérivées partielles (dites de Hamilton-Jacobi ) suivantes :
⎧
⎨
⎩
∂F
∂t
+ θ
∗ (∇ x F ) = 0 sur R
n
× ]0, +∞[,
F (x, 0) = f (x) pour tout x ∈ R n .
(Dans cette écriture, ∂F/∂t et ∇ x F désignent respectivement la dérivée partielle
par rapport à t et le vecteur gradient par rapport à x = (x 1 , . . . , x n ) de la
fonction F : (x, t) ∈ R n × ]0, +∞[ −→ F (x, t) ∈ R.)
1 ◦ ) Préliminaires. a) Soit
H : (y, s) ∈ R
n
× R −→ H(y, s) :=
f ∗ (y) si θ ∗ (y) + s 0,
+∞ sinon.
Vérifier que H ∈ Γ 0 (R n × R) et déterminer sa conjuguée H ∗ .
b) Posons
F : (x, t) ∈ R
n
× R −→ F (x, t) :=
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
inf u∈R n
f (u) + tθ
x−u
t
si t > 0,
f (x) si t = 0,
+∞ si t < 0.
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