Chapitre VII. Initiation au calcul sous-différentiel et de transformées...
Il s’ensuit :
g(˜ x 1 ) g(˜ x 2 ) + ˜ s 2 , ˜
x 1 − ˜
x 2 +
c
2
˜
x 1 − ˜
x 2
2 ,
h(˜ x 2 ) h(˜ x 1 ) + ˜ s 1 , ˜
x 2 − ˜
x 1 +
d
2
˜
x 1 − ˜
x 2
2 ,
d’où, puisque ˜
x 1 − ˜
x 2 = (t 2 − t 1 ) ˜
x k − ˜
x k+1 > 0,
θ(t 1 ) − θ(t 2 ) = g(˜ x 1 ) − h(˜ x 1 ) − g(˜ x 2 ) + h(˜ x 2 ) > ˜ s 2 − ˜
s 1 , ˜
x 1 − ˜
x 2 . (7.44)
Mais
˜ s 2 − ˜
s 1 , ˜
x 1 − ˜
x 2 = s k − ˜
s 2 , ˜
x 2 − ˜
x 1 + ˜ s 1 − s k , ˜
x 2 − ˜
x 1
(7.45)
et
˜
x 2 − ˜
x 1 = (t 2 − t 1 )(x k+1 − x k ),
x k+1 − ˜
x 2 = (1 − t 2 )(x k+1 − x k ),
d’où :
˜
x 2 − ˜
x 1 =
t 2 − t 1
1 − t 2
(x k+1 − ˜
x 2 ),
˜
x 1 − x k = t 1 (x k+1 − x k ), d’où ˜
x 2 − ˜
x 1 =
t 2 − t 1
t 1
(˜ x 1 − x k ).
Il vient alors de (7.45) :
˜ s 2 − ˜
s 1 , ˜
x 1 − ˜
x 2 =
t 2 − t 1
1 − t 2
s k − ˜
s 2 , x k+1 − ˜
x 2 +
t 2 − t 1
t 1
˜ s 1 − s k , ˜
x 1 − x k .
Or
(s k ∈ ∂g(x k+1 ), ˜
s 2 ∈ ∂g(˜ x 2 )) ⇒ (s k − ˜
s 2 , x k+1 − ˜
x 2 0) ,
(s k ∈ ∂h(x k ), ˜
s 1 ∈ ∂h(˜ x 1 )) ⇒ (˜ s 1 − s k , ˜
x 1 − x k 0) ,
d’où ˜ s 2 − ˜
s 1 , ˜
x 1 − ˜
x 2 0, et (7.44) permet de conclure à θ(t 2 ) < θ(t 1 ).
En particulier θ(1) < θ(0), soit f (x k+1 ) < f(x k ).
4 ◦ ) (Q) est équivalent à (P) au sens suivant :
– si (x, y) est solution de (Q), alors x est solution de (P) et y = h(x) ;
– si x est solution de (P), alors (x, h(x)) est solution de (Q).
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