VII.3. La convexification d’une fonction
a) Puisque s k ∈ ∂g(x k+1 ) et que g est fortement convexe,
g(x k ) g(x k+1 ) + s k , x k − x k+1 +
c
2
x k − x k+1
2
(7.41)
(c étant un module de forte convexité de g sur R n ).
De même, puisque s k ∈ ∂h(x k ) et h est fortement convexe,
h(x k+1 ) h(x k ) + s k , x k+1 − x k +
d
2
x k − x k+1
2
(7.42)
(d étant un module de forte convexité de h).
En additionnant (7.41) et (7.42), on obtient :
g(x k ) − h(x k ) g(x k+1 ) − h(x k+1 ) +
c + d
2
x k − x k+1
2 .
(7.43)
La suite {f (x k ) = g(x k ) − h(x k )} k est bien décroissante. Elle est minorée
par f := inf x∈R n f (x).
b) Puisque f (x k ) f (x 0 ) pour tout k et que {x | f (x) f (x 0 )} est borné
par hypothèse, la suite {x k } est bornée.
Comme l’image d’un borné par ∂h est un borné et que s k ∈ ∂h(x k ), la
suite {s k } est également bornée.
c) On tire de (7.43) :
c + d
2
K−1
k=0
x k+1 − x k
2
f (x 0 ) − f pour tout K ∈ N
∗ ,
d’où
+∞
k=0
x k+1 − x k 2 < +∞.
d) Considérons {x k l } l telle que x k l → ˜
x quand l → +∞. Puisque la suite
{s k l } l est bornée, on peut supposer – quitte à extraire une nouvelle sous-suite
– que s k l → ˜
s quand l → +∞.
En raison du caractère fermé du graphe de la multi-application x −→
∂h(x), un passage à la limite (sur l) de s k l ∈ ∂h(x k l ) conduit à ˜
s ∈ ∂h(˜ x).
Mais x k l +1 → l→+∞ ˜
x également car x k l +1 − x k l → 0 quand l → +∞.
Donc, comme précédemment, un passage à la limite sur s k l ∈ ∂g(x k l +1 )
conduit à ˜
s ∈ ∂g(˜ x).
En définitive, ˜
s ∈ ∂h(˜ x) ∩ ∂g(˜ x) ; ˜
x est bien un point T-critique de (P).
e) θ(t) = (g − h)[tx k+1 + (1 − t)x k ] par définition. Posons
˜
x 1 := t 1 x k+1 + (1 − t 1 )x k , ˜
x 2 := t 2 x k+1 + (1 − t 2 )x k , où t 1 < t 2 et
t 1 , t 2 ∈ [0, 1] , et choisissons ˜
s 1 ∈ ∂h(˜ x 1 ), ˜
s 2 ∈ ∂h(˜ x 2 ).
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