VII.3. La convexification d’une fonction
Remarque : La fonction conv f construite à partir d’une fonction f comme dans
l’exercice ci-dessus est continue sur
◦
C (puisque conv f est convexe et C est le
domaine de conv f ), mais il peut arriver qu’elle ne soit pas continue en des points
de la frontière de C.
** Exercice VII.26. S étant un fermé non vide de R n , on définit f S : R n →
R ∪ {+∞} par f S (x) :=
1
2 x 2 si x ∈ S, +∞ sinon. On rappelle que la
conjuguée f ∗
S de f S est f ∗
S : s ∈ R n −→ f ∗
S (s) =
1
2
s 2 − d 2
S (s)
.
Rappeler ce que sont ∂f S (x) et (conv f S )(x) pour x ∈ S, ainsi que ∂f ∗
S (s).
Illustrer les formules précédentes sur les exemples suivants :
S = {x ∈ R | 0 x 1 ou 2 x 3} ,
S =
x = (ξ 1 , ξ 2 ) ∈ R 2 : ξ 2
1 + ξ 2
2 − 2 | ξ 1 | −2 | ξ 2 | +1 0
et | ξ 1 | + | ξ 2 | 1} .
Solution : On note P S (x) := {y ∈ S | d S (x) = x − y } .
Considérons x ∈ S :
(i) (s ∈ ∂f S (x)) ⇔ (x ∈ P S (s)) ⇔ (d S (s) = s − x ) .
En particulier x ∈ ∂f S (x).
Les équivalences annoncées se voient grâce à la caractérisation de ∂f S (x)
via f ∗
S : s ∈ ∂f S (x) si, et seulement si, f S (x) + f ∗
S (s) = s, x , ce qui revient
ici à
I S (x) +
1
2
x
2 +
1
2
s
2
−d
2
S (s)
= s, x .
Sachant que I S (x) = 0, ceci équivaut à d S (s) = s − x , i.e. x ∈ P S (s).
(ii) conv f S est une fonction convexe de domaine conv S.
Comme ∂f S (x) = φ lorsque x ∈ S, conv f S et f S coïncident en x ; de plus
∂(conv f S )(x) = ∂f S (x).
(iii) ∂f ∗
S (s) = conv P S (s).
En effet, (conv f S =) convf S ∈ Γ 0 (R n ) de sorte que x ∈ ∂f ∗
S (s) équivaut
à s ∈ ∂( conv f S )(x). Or, on est ici dans les conditions où on peut exprimer
∂(conv f S )(x) en fonction de ∂f S (voir rappels de la Section VII.3) : il existe
x 1 , . . . , x n+1 dans S (= dom f S ), (α 1 , . . . , α n+1 ) ∈ Λ n+1 tels que
x =
n+1
i=1
α i x i et ∂(conv f S )(x) =
α i >0
∂f S (x i ).
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Remarque : La fonction conv f construite à partir d’une fonction f comme dans
l’exercice ci-dessus est continue sur
◦
C (puisque conv f est convexe et C est le
domaine de conv f ), mais il peut arriver qu’elle ne soit pas continue en des points
de la frontière de C.
** Exercice VII.26. S étant un fermé non vide de R n , on définit f S : R n →
R ∪ {+∞} par f S (x) :=
1
2 x 2 si x ∈ S, +∞ sinon. On rappelle que la
conjuguée f ∗
S de f S est f ∗
S : s ∈ R n −→ f ∗
S (s) =
1
2
s 2 − d 2
S (s)
.
Rappeler ce que sont ∂f S (x) et (conv f S )(x) pour x ∈ S, ainsi que ∂f ∗
S (s).
Illustrer les formules précédentes sur les exemples suivants :
S = {x ∈ R | 0 x 1 ou 2 x 3} ,
S =
x = (ξ 1 , ξ 2 ) ∈ R 2 : ξ 2
1 + ξ 2
2 − 2 | ξ 1 | −2 | ξ 2 | +1 0
et | ξ 1 | + | ξ 2 | 1} .
Solution : On note P S (x) := {y ∈ S | d S (x) = x − y } .
Considérons x ∈ S :
(i) (s ∈ ∂f S (x)) ⇔ (x ∈ P S (s)) ⇔ (d S (s) = s − x ) .
En particulier x ∈ ∂f S (x).
Les équivalences annoncées se voient grâce à la caractérisation de ∂f S (x)
via f ∗
S : s ∈ ∂f S (x) si, et seulement si, f S (x) + f ∗
S (s) = s, x , ce qui revient
ici à
I S (x) +
1
2
x
2 +
1
2
s
2
−d
2
S (s)
= s, x .
Sachant que I S (x) = 0, ceci équivaut à d S (s) = s − x , i.e. x ∈ P S (s).
(ii) conv f S est une fonction convexe de domaine conv S.
Comme ∂f S (x) = φ lorsque x ∈ S, conv f S et f S coïncident en x ; de plus
∂(conv f S )(x) = ∂f S (x).
(iii) ∂f ∗
S (s) = conv P S (s).
En effet, (conv f S =) convf S ∈ Γ 0 (R n ) de sorte que x ∈ ∂f ∗
S (s) équivaut
à s ∈ ∂( conv f S )(x). Or, on est ici dans les conditions où on peut exprimer
∂(conv f S )(x) en fonction de ∂f S (voir rappels de la Section VII.3) : il existe
x 1 , . . . , x n+1 dans S (= dom f S ), (α 1 , . . . , α n+1 ) ∈ Λ n+1 tels que
x =
n+1
i=1
α i x i et ∂(conv f S )(x) =
α i >0
∂f S (x i ).
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