Chapitre VII. Initiation au calcul sous-différentiel et de transformées...
Connaissant l’évaluation de ∂f S (x i ) lorsque x i ∈ S (cf. (ii)), on a bien
traduit « x ∈ ∂f ∗
S (s) » en « x ∈ conv P S (s) ».
Figure 28.
∂f S (1) = ∂(conv f s )(1) =
1,
3
2
= {s se projetant sur S en 1} .
En x =
3
2 , P S (x) = {1, 2} et ∂f ∗
S (x) = [1, 2].
Dans le 2 e exemple, l’ensemble S de R 2 est comme suit :
Figure 29.
f ∗
S n’est pas différentiable en x 0 = (1, 1).
Remarque : Dans le cadre plus général où S est un fermé non vide d’un espace
de Hilbert, on montre facilement l’inclusion P S (x) ⊂ ∂f ∗
S (x), x ∈ H, de sorte que
conv P S (x) ⊂ ∂f ∗
S (x). Mais lorsque H est de dimension infinie, cette inclusion peut
être stricte. Toutefois, bien des propriétés de la multi-application x −→ P S (x), la
monotonie par exemple, se déduisent des propriétés de x −→ ∂f ∗
S (x) grâce à cette
inclusion.
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