Chapitre VII. Initiation au calcul sous-différentiel et de transformées...
En conséquence, pour tout x ∈ C, disons x =
k
i=1
α i x i ,
f
k
i=1
α i x i
k
i=1
α i f (x i ) (de part la convexité de f )
k
i=1
α i g(x i ) (puisque f (x i ) = g(x i ) pour tout i)
g
k
i=1
α i x i
(puisque g est affine)
f
k
i=1
α i x i
(puisque g minore f ),
d’où f (x) = g(x).
*** Exercice VII.25. Soit C un convexe compact de R n , soit f : C → R une
fonction continue sur C et C ∞ sur
◦
C . On prolonge f à tout R n en posant
f (x) = +∞ si x /
∈ C. La fonction conv f est-elle alors différentiable sur
◦
C ?
Solution : Non. Voici un contre-exemple. Soit C le polyèdre convexe compact de R 2 de sommets (1,0), (1,2), (0,3), (–1,2) et (–1,0) ; soit f : (ξ 1 , ξ 2 ) ∈
R 2 −→ f (ξ 1 , ξ 2 ) := 1 − ξ 2
1 si (ξ 1 , ξ 2 ) ∈ C, +∞ sinon. Alors conv f n’est pas
différentiable sur le segment L joignant (1,2) à (–1,2).
Figure 27.
310
En conséquence, pour tout x ∈ C, disons x =
k
i=1
α i x i ,
f
k
i=1
α i x i
k
i=1
α i f (x i ) (de part la convexité de f )
k
i=1
α i g(x i ) (puisque f (x i ) = g(x i ) pour tout i)
g
k
i=1
α i x i
(puisque g est affine)
f
k
i=1
α i x i
(puisque g minore f ),
d’où f (x) = g(x).
*** Exercice VII.25. Soit C un convexe compact de R n , soit f : C → R une
fonction continue sur C et C ∞ sur
◦
C . On prolonge f à tout R n en posant
f (x) = +∞ si x /
∈ C. La fonction conv f est-elle alors différentiable sur
◦
C ?
Solution : Non. Voici un contre-exemple. Soit C le polyèdre convexe compact de R 2 de sommets (1,0), (1,2), (0,3), (–1,2) et (–1,0) ; soit f : (ξ 1 , ξ 2 ) ∈
R 2 −→ f (ξ 1 , ξ 2 ) := 1 − ξ 2
1 si (ξ 1 , ξ 2 ) ∈ C, +∞ sinon. Alors conv f n’est pas
différentiable sur le segment L joignant (1,2) à (–1,2).
Figure 27.
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