VII.3. La convexification d’une fonction
Supposons que (conv f 1 ) (x 0 ) > (conv g 1 ) (x 0 ) et arrivons à une contradiction. Nous avons :
– si x x 0 ,
g 1 (x) f 1 (x) (conv f 1 )(x) (conv f 1 )(x 0 ) + (conv f 1 )
(x 0 )(x − x 0 )
et, d’après le résultat de la 1 re étape (appliqué à h := g 1 , a := (conv f 1 ) (x 0 )
et b := (conv f 1 )(x 0 )), il vient que (conv f 1 )(x 0 ) < ( conv g 1 )(x 0 ).
– si x x 0 ,
f 1 (x) g 1 (x) (conv g 1 )(x) ( conv g 1 )(x 0 ) + (conv g 1 )
(x 0 )(x − x 0 )
et, toujours d’après le résultat de la 1 re étape (appliqué à h := f 1 , a :=
(conv g 1 ) (x 0 ) et b := (conv g 1 )(x 0 )), il vient que (conv g 1 )(x 0 ) < (conv f 1 )(x 0 ).
** Exercice VII.24. Soient f : R n → R convexe et x 1 , . . . , x k ∈ R n . On suppose
qu’il existe α 1 > 0, . . . , α k > 0, de somme 1, tels que f
k
i=1
α i x i
=
k
i=1
α i f (x i ).
Montrer que f est alors affine sur conv{x 1 , . . . , x k } .
Solution : Soit C := conv{x 1 , . . . , x k } . On veut montrer que s’il y a un
point de l’intérieur relatif de C en lequel l’inégalité usuelle de convexité
f
k
i=1
α i x i
k
i=1
α i f (x i ) est une égalité, alors f est affine sur C.
Posons x :=
k
i=1
α i x i et prenons s ∈ ∂f (x). La fonction g : x ∈ R n −→
g(x) := f (x) + s, x − x est une minorante affine de f , coïncidant avec f en x.
Nous disons que g coïncide avec f en tous les x i , i = 1, . . . , k. Si ce n’était
pas le cas, nous aurions
g(x) =
k
i=1
α i g(x i ) <
k
i=1
α i f (x i ) = f (x),
d’où contradiction.
309