Chapitre VII. Initiation au calcul sous-différentiel et de transformées...
Solution : La réponse est oui. Nous démontrons cela en plusieurs étapes.
Étape 1
Considérons h : R → R dérivable, minorée par une fonction affine, et
x 0 ∈ R. On suppose qu’il existe a > (conv h) (x 0 ) et b ∈ R tels que
h(x) a(x − x 0 ) + b pour x x 0 .
Alors b < (conv h)(x 0 ) nécessairement.
En effet, si b (conv h)(x 0 ), on aurait alors :
(i) h(x) a(x − x 0 ) + b a(x − x 0 ) + (conv h)(x 0 ) pour x x 0 d’une part,
(ii) h(x) (conv h)(x) (conv h)(x 0 ) + (conv h) (x 0 )(x − x 0 )
(conv h)(x 0 ) + a(x − x 0 ) si x x 0 d’autre part.
En somme
h(x) (conv h)(x 0 ) + a(x − x 0 ) pour tout x ∈ R,
et donc
(conv h)(x) (conv h)(x 0 ) + a(x − x 0 ) pour tout x ∈ R.
Cette dernière inégalité implique (conv h) (x 0 ) a (en fait égalité), d’où
contradiction avec l’hypothèse.
La même conclusion, à savoir b < (conv h)(x 0 ), est obtenue mutatis mutandis en supposant qu’il existe a < ( conv h) (x 0 ) et b ∈ R tels que
h(x) a(x − x 0 ) + b pour x x 0 .
Étape 2
On ramène le problème à des fonctions coïncidant en un point x 0 ∈ R.
Posons en effet f 1 (x) := f (x) − f (x 0 ) et g 1 (x) := g(x) − g(x 0 ). On a
évidemment :
(1) f
1 = f et g
1 = g ;
(2) (conv f 1 ) = (conv f ) et (conv g 1 ) = (conv g)
(car conv f 1 = conv f − f (x 0 )).
Étape 3
Sachant que f
1 g
1 , montrons que (conv f 1 ) (x 0 ) (conv g 1 ) (x 0 ).
En premier lieu, notons :
– si x x 0 , f 1 (x) =
x
x 0
f
1 (t)dt
x
x 0
g
1 (t)dt = g 1 (x) ;
– si x x 0 , g 1 (x) f 1 (x).
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