VII.3. La convexification d’une fonction
*** Exercice VII.22. Soit f : R → R dérivable et minorée par une fonction
affine. Montrer que conv f est dérivable sur R.
Solution : Comme conv f est convexe et partout finie, il n’y a pas lieu de
distinguer ici conv f et conv f (= f ∗∗ ). Cela dit, conv(epi f ) peut être différent
de conv(epi f ) (prendre f (x) = e −x 2 par exemple).
Supposons qu’il existe un point x 0 en lequel la fonction g := conv f n’est
pas dérivable, c’est-à-dire en lequel la dérivée à gauche de g diffère de la dérivée
à droite.
Figure 26.
Le cône K construit à partir des demi-dérivées de g en x 0 contient
conv(epi f ) et, de plus, (x 0 , g(x 0 )) ∈ conv(epi f ). On peut donc approcher
(x 0 , g(x 0 )) par une suite d’éléments de conv(epi f ), lesquels sont nécessairement dans K.
Il s’ensuit que f (x 0 ) = g(x 0 ) (d’accord ?). Mais alors f ne serait pas dérivable en x 0 , ce qui est contraire à l’hypothèse.
Commentaire : Ce résultat est particulier aux fonctions convexes de la variable
réelle.
Considérons en effet f : (x, y) ∈ R 2 −→ f (x, y) :=
x 2 + e −y 2 ; c’est une
fonction de classe C ∞ sur R 2 pour laquelle (conv f ) : (x, y) −→ (conv f )(x, y) =
| x | .
*** Exercice VII.23. Soient f et g : R → R dérivables et minorées (chacune)
par une fonction affine. On sait d’après l’exercice précédent que conv f et conv g
sont également dérivables sur R. La question à présent est : si f g , a-t-on
(conv f ) (conv g) ?
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*** Exercice VII.22. Soit f : R → R dérivable et minorée par une fonction
affine. Montrer que conv f est dérivable sur R.
Solution : Comme conv f est convexe et partout finie, il n’y a pas lieu de
distinguer ici conv f et conv f (= f ∗∗ ). Cela dit, conv(epi f ) peut être différent
de conv(epi f ) (prendre f (x) = e −x 2 par exemple).
Supposons qu’il existe un point x 0 en lequel la fonction g := conv f n’est
pas dérivable, c’est-à-dire en lequel la dérivée à gauche de g diffère de la dérivée
à droite.
Figure 26.
Le cône K construit à partir des demi-dérivées de g en x 0 contient
conv(epi f ) et, de plus, (x 0 , g(x 0 )) ∈ conv(epi f ). On peut donc approcher
(x 0 , g(x 0 )) par une suite d’éléments de conv(epi f ), lesquels sont nécessairement dans K.
Il s’ensuit que f (x 0 ) = g(x 0 ) (d’accord ?). Mais alors f ne serait pas dérivable en x 0 , ce qui est contraire à l’hypothèse.
Commentaire : Ce résultat est particulier aux fonctions convexes de la variable
réelle.
Considérons en effet f : (x, y) ∈ R 2 −→ f (x, y) :=
x 2 + e −y 2 ; c’est une
fonction de classe C ∞ sur R 2 pour laquelle (conv f ) : (x, y) −→ (conv f )(x, y) =
| x | .
*** Exercice VII.23. Soient f et g : R → R dérivables et minorées (chacune)
par une fonction affine. On sait d’après l’exercice précédent que conv f et conv g
sont également dérivables sur R. La question à présent est : si f g , a-t-on
(conv f ) (conv g) ?
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