Chapitre VII. Initiation au calcul sous-différentiel et de transformées...
** Exercice VII.21. Soit C un convexe fermé (non vide) symétrique de R n (i.e.
tel que (x σ(1) , . . . , x σ(n) ) ∈ C pour tout (x 1 , . . . , x n ) ∈ C et toute permutation
σ de {1, . . . , n}). On définit :
λ
−1 (C) := {M ∈ S n (R) | (λ 1 (M ), . . . , λ n (M )) ∈ C} ,
(7.40)
où λ 1 (M ) λ 2 (M ) . . . λ n (M ) désignent les valeurs propres de M.
1 ◦ ) Montrer que λ −1 (C) est un convexe fermé de S n (R).
2 ◦ ) Illustrations. Déterminer λ −1 (C) dans les cas suivants :
C = {0} , C =
R
+
n , C = Λ n (simplexe-unité de R
n ).
Indication. Pour répondre à la 1 re question, utiliser le résultat de la 1 re question
du Problème VII.20.
Solution : 1 ◦ ) Soit f := I C (fonction indicatrice de C) ; de par les hypothèses
faites sur C, f ∈ Γ 0 (R n ) et est symétrique. Qu’est-ce qu’alors la fonction
V f : M ∈ S n (R) −→ V f (M ) := f (λ 1 (M ), . . . , λ n (M )) ?
Il vient immédiatement : V f = I λ −1 (C) (fonction indicatrice de λ −1 (C)).
D’après le résultat de la 1 re question du Problème VII.20, V f est convexe
semi-continue inférieurement sur S n (R) ; par conséquent, λ −1 (C) est un
convexe fermé de S n (R) (assurément non vide).
2 ◦ ) Si C = {0}, seule la matrice nulle est dans λ −1 (C).
Si C = (R + )
n , λ −1 (C) est clairement P n (R) (l’ensemble des matrices M
de S n (R) qui sont semi-définies positives).
Si C = Λ n , λ −1 (C) = {M ∈ P n (R) | trM = 1} (ensemble noté Ω 1 dans
l’Exercice 6.12).
Commentaire : – Les exemples traités dans l’exercice montrent que λ −1 (C) n’est
pas nécessairement polyédral lorsque C l’est.
– Prolongement de l’exercice : Montrer que M est un point extrémal de λ −1 (C)
si, et seulement si, (λ 1 (M ), . . . , λ n (M )) est un point extrémal de C.
306
** Exercice VII.21. Soit C un convexe fermé (non vide) symétrique de R n (i.e.
tel que (x σ(1) , . . . , x σ(n) ) ∈ C pour tout (x 1 , . . . , x n ) ∈ C et toute permutation
σ de {1, . . . , n}). On définit :
λ
−1 (C) := {M ∈ S n (R) | (λ 1 (M ), . . . , λ n (M )) ∈ C} ,
(7.40)
où λ 1 (M ) λ 2 (M ) . . . λ n (M ) désignent les valeurs propres de M.
1 ◦ ) Montrer que λ −1 (C) est un convexe fermé de S n (R).
2 ◦ ) Illustrations. Déterminer λ −1 (C) dans les cas suivants :
C = {0} , C =
R
+
n , C = Λ n (simplexe-unité de R
n ).
Indication. Pour répondre à la 1 re question, utiliser le résultat de la 1 re question
du Problème VII.20.
Solution : 1 ◦ ) Soit f := I C (fonction indicatrice de C) ; de par les hypothèses
faites sur C, f ∈ Γ 0 (R n ) et est symétrique. Qu’est-ce qu’alors la fonction
V f : M ∈ S n (R) −→ V f (M ) := f (λ 1 (M ), . . . , λ n (M )) ?
Il vient immédiatement : V f = I λ −1 (C) (fonction indicatrice de λ −1 (C)).
D’après le résultat de la 1 re question du Problème VII.20, V f est convexe
semi-continue inférieurement sur S n (R) ; par conséquent, λ −1 (C) est un
convexe fermé de S n (R) (assurément non vide).
2 ◦ ) Si C = {0}, seule la matrice nulle est dans λ −1 (C).
Si C = (R + )
n , λ −1 (C) est clairement P n (R) (l’ensemble des matrices M
de S n (R) qui sont semi-définies positives).
Si C = Λ n , λ −1 (C) = {M ∈ P n (R) | trM = 1} (ensemble noté Ω 1 dans
l’Exercice 6.12).
Commentaire : – Les exemples traités dans l’exercice montrent que λ −1 (C) n’est
pas nécessairement polyédral lorsque C l’est.
– Prolongement de l’exercice : Montrer que M est un point extrémal de λ −1 (C)
si, et seulement si, (λ 1 (M ), . . . , λ n (M )) est un point extrémal de C.
306