VII.3. La convexification d’une fonction
– Détermination de la conjuguée
Le calcul de f ∗ est aisé, de par la structure « décomposée » de f :
la conjuguée de ϕ : x −→
− ln x si x > 0
+∞ sinon
est
ϕ ∗ : s −→
−1 + ln
−
1
s
si s < 0,
+∞ sinon ;
d’où
f
∗ : s = (s 1 , . . . , s n ) −→ f
∗ (s) =
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
−n +
n
i=1
ln
−
1
s i
si s i < 0 pour tout i,
+∞ sinon.
Il s’ensuit :
(V f )
∗ (S) = V f ∗ (S) = f
∗ (λ 1 (S), . . . , λ n (S)) =
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
−n − ln(−dét S) si S
est définie négative,
+∞ sinon.
– Calcul différentiel
f est différentiable en (λ 1 (M ), . . . , λ n (M )) lorsque λ i (M ) > 0 pour tout i,
c’est-à-dire lorsque M est définie positive. Alors, la règle de calcul établie
en (7.37) conduit à retrouver le résultat
∇V f (M ) = −M
−1 .
Commentaire : – Les fonctions de valeurs propres V f vérifient
V f (M ) = V f (U
MU) quelle que soit U orthogonale ;
(7.39)
il est intéressant de savoir que la réciproque est vraie : toute fonction convexe V
sur E (vérifiant (7.39) est de la forme V f .
– Pour les fonctions de valeurs propres du type V f , le calcul de la conjuguée et
du sous-différentiel reviennent à ceux – plus simples – du calcul de la conjuguée
et du sous-différentiel de f.
– Le résultat (7.37) est quelque peu curieux : l’expression de ∇V f (M ) ne
dépend pas de la matrice orthogonale U ayant servi à diagonaliser M .
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