Chapitre VII. Initiation au calcul sous-différentiel et de transformées...
Il s’ensuit :
S ∈ ∂V f (M ) ⇔
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
f (λ 1 (M ), . . . , λ n (M )) + f ∗ (λ 1 (S), . . . , λ n (S))
=
n
i=1
λ i (M )λ i (S)
et
tr(SM ) =
n
i=1
λ i (M )λ i (S).
La 1 re partie de l’assertion de droite exprime que
(λ 1 (S), . . . , λ n (S)) ∈ ∂f (λ 1 (M ), . . . , λ n (M )) ;
quant à la 2 e , elle n’a lieu que s’il existe U orthogonale telle que
U
MU = diag (λ 1 (M ), . . . , λ n (M )) et U
SU = diag(λ 1 (S), . . . , λ n (S)).
b) Si f est différentiable en (λ 1 (M ), . . . , λ n (M )), alors
∂f (λ 1 (M ), . . . , λ n (M )) = {∇f (λ 1 (M ), . . . , λ n (M ))} ;
il s’ensuit avec la règle de calcul établie en (7.36) :
∂V f (M ) =
U [diag∇f (λ 1 (M ), . . . , λ n (M ))]U | U orthogonale telle
que U MU = diag(λ 1 (M ), . . . , λ n (M ))
.
Montrons que cet ensemble ne contient qu’un seul élément, ce qui assurera
la différentiabilité de V f en M et l’expression annoncée (7.37) de ∇V f (M ).
Tous les éléments du convexe ∂V f (M ) ont même norme ( S 2 = tr(S 2 ) =
∇f (λ 1 (M ), . . . , λ n (M )) 2 pour tout S ∈ ∂V f (M )), et comme cette norme
· · sur E (déduite du produit scalaire ·, ···) est strictement convexe, i.e.
( S 1 = S 2 = 1, S 1 = S 2 , α ∈ ]0, 1[)
⇒ ( αS 1 + (1 − α)S 2 < α S 1 + (1 − α) S 2 ),
∂V f (M ) ne contient qu’un seul élément.
4 ◦ ) La fonction f proposée donne lieu à
V f : M ∈ E −→ V f (M ) =
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
−
n
i=1
ln(λ i (M )) = − ln(détM ) si λ i (M ) > 0 pour tout i,
c’est-à-dire si M est définie positive,
+∞
sinon.
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