VII.3. La convexification d’une fonction
2 ◦ )
Fonctions de Γ 0 (R n )
Fonctions de valeurs propres V f
symétriques
correspondantes
f (x 1 , ..., x n ) = max {x 1 , ..., x n } .
V f (M ) = plus grande
valeur propre de M.
f (x 1 , ..., x n ) = somme des m plus
V f (M ) = somme des m plus
grandes valeurs dans x 1 , ..., x n .
grandes valeurs propres de M.
f (x 1 , ..., x n ) = max {x 1 , ..., x n }
V f (M ) = λ 1 (M ) − λ n (M )
= max (i,j) | λ i (M ) − λ j (M ) |
− min {x 1 , ..., x n } .
(largeur du spectre deM ).
f (x 1 , ..., x n ) =
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
−
n
i=1
ln x i si
x i > 0 pour tout i,
+∞ sinon.
V f (M ) =
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
− ln(dét M ) si M est
définie positive,
+∞ sinon.
f (x 1 , ..., x n ) =
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
−1/
n
i=1
1/x i
si
x i > 0 pour tout i,
+∞ sinon.
V f (M ) =
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
−1/tr(M −1 ) si M est
définie positive,
+∞ sinon.
3 ◦ ) a) Nous avons :
S ∈ ∂V f (M ) ⇔ ⇔⇔S, M = V f (M ) + (V f )
∗ (S)
= V f (M ) + V f ∗ (S) (d’après la 1 re question).
Or :
• l’inégalité (de Fenchel)
f (λ 1 (M ), . . . , λ n (M )) + f
∗ (λ 1 (S), . . . , λ n (S))
n
i=1
λ i (M )λ i (S)
est toujours assurée, et
• ••S, M = tr(SM )
n
i=1
λ i (S)λ i (M ).
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