Chapitre VII. Initiation au calcul sous-différentiel et de transformées...
L’application de E dans E qui à S associe USU étant bijective et préservant
les valeurs propres, on a :
sup
S∈E
{tr(MS) − f
∗ (λ 1 (S), . . . , λ n (S))} =
sup
S∈E
{tr[diag(λ 1 (M ), . . . , λ n (M ))S] − f
∗ (λ 1 (S), . . . , λ n (S))} .
En se restreignant aux matrices diagonales S = diag(s 1 , . . . , s n ), on en
déduit
sup
S∈E
{tr(MS) − f
∗ (λ 1 (S), . . . , λ n (S))}
sup
(s 1 ,...,sn)∈R n
n
i=1
λ i (M )s i − f
∗ (s 1 , . . . , s n )
.
L’expression de droite n’est autre que f ∗∗ (λ 1 (M ), . . . , λ n (M )), soit
f (λ 1 (M ), . . . , λ n (M )) puisque f ∈ Γ 0 (R n ).
– Inégalité dans (7.35)
Pour tout S ∈ E,
tr(MS) − f
∗ (λ 1 (S), . . . , λ n (S))
n
i=1
λ i (M )λ i (S) − f
∗ (λ 1 (S), . . . , λ n (S))
f
∗∗ (λ 1 (M ), . . . , λ n (M )) = V f (M ).
– Conséquences de (7.35)
(7.35) exprime que V f est la conjuguée de V f ∗ ; donc V f ∈ Γ 0 (E).
Par ailleurs, f ∗ étant à son tour une fonction de Γ 0 (R n ) symétrique,
V f ∗ ∈ Γ 0 (E). Il s’ensuit (V f ) ∗ = (V f ∗ ) ∗∗ = V f ∗ .
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