VII.3. La convexification d’une fonction
4 ◦ ) Illustrer les résultats obtenus dans le problème sur l’exemple suivant :
x = (x 1 , . . . , x n ) ∈ R
n
−→ f (x) :=
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
−
n
i=1
ln(x i ) si
x i > 0 pour tout i = 1, . . . , n ;
+∞ sinon.
Indication. Pour démontrer l’inégalité dans (7.35) et démontrer (7.36), on
pourra utiliser le résultat suivant : pour M et S dans E,
tr(SM ) =
n
i=1
λ i (SM )
n
i=1
λ i (S)λ i (M ),
avec égalité si, et seulement si, il existe U orthogonale telle que U MU =
diag(λ 1 (M ), . . . , λ n (M )) et U SU = diag(λ 1 (S), . . . , λ n (S)) (décomposition spectrale simultanée).
Solution : 1 ◦ ) a) Par définition de f ∗ ,
∀s = (s 1 , . . . , s n ) ∈ R
n , f
∗ (s) = sup
(x 1 ,...,xn)
n
i=1
s i x i − f (x 1 , . . . , x n )
. (7.38)
Si σ est une permutation de {1, . . . , n},
n
i=1
s i x i =
n
i=1
s σ(i) x σ(i) , f (x 1 , . . . , x n ) =
f (x σ(1) , . . . , x σ(n) ), et
(x σ(1) , . . . , x σ(n) )|(x 1 , . . . , x n ) ∈ R n
= R n ; il est ainsi
clair, à partir de (7.38), que
f
∗ (s σ(1) , . . . , s σ(n) ) = f
∗ (s 1 , . . . , s n ).
Comme cela a été fait à partir de f pour V f , il est donc possible de définir
V f ∗ : S ∈ S n (R) −→ V f ∗ (S) := f ∗ (λ 1 (S), . . . , λ n (S)).
b) –Inégalité dans (7.35)
Soit U orthogonale telle que M = U diag(λ 1 (M ), . . . , λ n (M ))U ; ainsi
tr(MS) = tr[diag(λ 1 (M ), . . . , λ n (M ))USU
].
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