Chapitre VII. Initiation au calcul sous-différentiel et de transformées...
*** Probl` eme VII.20. Conjugaison et sous-différentiation de fonctions spectrales
Soit E := S n (R) structuré en espace euclidien à l’aide du produit scalaire ··· (rappel : A, B := tr(AB)). Étant donnée f ∈ Γ 0 (R n ) symétrique
(i.e. vérifiant f (x σ(1) , . . . , x σ(n) ) = f (x 1 , . . . , x n ) pour tout (x 1 , . . . , x n ) ∈ R n et
toute permutation σ de {1, . . . , n}), on définit V f : S n (R) → R ∪ {+∞} de la
manière suivante :
∀M ∈ S n (R), V f (M ) := f (λ 1 (M ), . . . , λ n (M )) ,
(7.34)
où λ 1 (M ) λ 2 (M ) . . . λ n (M ) désignent les valeurs propres de M.
De telles fonctions V f sont appelées fonctions de valeurs propres ou fonctions
spectrales.
L’objet du problème est de déterminer la conjuguée (resp. le sous-différentiel)
de V f en fonction de la conjuguée (resp. du sous-différentiel) de f.
1 ◦ ) a) Vérifier que f ∗ (∈ Γ 0 (R n )) est également symétrique.
b) Montrer :
V f (M ) = sup
S∈E
{tr(MS) − f
∗ (λ 1 (S), . . . , λ n (S))} .
(7.35)
En déduire que V f ∈ Γ 0 (E) et (V f ) ∗ = V f ∗ .
2 ◦ ) À l’aide de fonctions f ∈ Γ 0 (R n ) symétriques, faire une liste d’exemples
de fonctions de valeurs propres V f qui soient convexes.
3 ◦ ) a) Montrer que S ∈ E est un sous-gradient de V f en M (i.e., S ∈
∂V f (M )) si et seulement si :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
(λ 1 (S), . . . , λ n (S)) ∈ ∂f (λ 1 (M ), . . . , λ n (M ))
et il existe
U orthogonale telle que
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
U MU = diag (λ 1 (M ), . . . , λ n (M ))
et
U SU = diag (λ 1 (S), . . . , λ n (S)) .
(7.36)
b) On suppose f différentiable en (λ 1 (M ), . . . , λ n (M )). Déduire de ce qui
précède que V f est différentiable en M , avec :
∇V f (M ) = U [diag ∇f (λ 1 (M ), . . . , λ n (M ))] U
,
(7.37)
où U est une matrice orthogonale (quelconque) telle que U MU =
diag(λ 1 (M ), . . . , λ n (M )), et diag ∇f (λ 1 (M ), . . . , λ n (M )) désigne la matrice diagonale construite à partir du vecteur ∇f (λ 1 (M ), . . . , λ n (M )).
300
*** Probl` eme VII.20. Conjugaison et sous-différentiation de fonctions spectrales
Soit E := S n (R) structuré en espace euclidien à l’aide du produit scalaire ··· (rappel : A, B := tr(AB)). Étant donnée f ∈ Γ 0 (R n ) symétrique
(i.e. vérifiant f (x σ(1) , . . . , x σ(n) ) = f (x 1 , . . . , x n ) pour tout (x 1 , . . . , x n ) ∈ R n et
toute permutation σ de {1, . . . , n}), on définit V f : S n (R) → R ∪ {+∞} de la
manière suivante :
∀M ∈ S n (R), V f (M ) := f (λ 1 (M ), . . . , λ n (M )) ,
(7.34)
où λ 1 (M ) λ 2 (M ) . . . λ n (M ) désignent les valeurs propres de M.
De telles fonctions V f sont appelées fonctions de valeurs propres ou fonctions
spectrales.
L’objet du problème est de déterminer la conjuguée (resp. le sous-différentiel)
de V f en fonction de la conjuguée (resp. du sous-différentiel) de f.
1 ◦ ) a) Vérifier que f ∗ (∈ Γ 0 (R n )) est également symétrique.
b) Montrer :
V f (M ) = sup
S∈E
{tr(MS) − f
∗ (λ 1 (S), . . . , λ n (S))} .
(7.35)
En déduire que V f ∈ Γ 0 (E) et (V f ) ∗ = V f ∗ .
2 ◦ ) À l’aide de fonctions f ∈ Γ 0 (R n ) symétriques, faire une liste d’exemples
de fonctions de valeurs propres V f qui soient convexes.
3 ◦ ) a) Montrer que S ∈ E est un sous-gradient de V f en M (i.e., S ∈
∂V f (M )) si et seulement si :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
(λ 1 (S), . . . , λ n (S)) ∈ ∂f (λ 1 (M ), . . . , λ n (M ))
et il existe
U orthogonale telle que
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
U MU = diag (λ 1 (M ), . . . , λ n (M ))
et
U SU = diag (λ 1 (S), . . . , λ n (S)) .
(7.36)
b) On suppose f différentiable en (λ 1 (M ), . . . , λ n (M )). Déduire de ce qui
précède que V f est différentiable en M , avec :
∇V f (M ) = U [diag ∇f (λ 1 (M ), . . . , λ n (M ))] U
,
(7.37)
où U est une matrice orthogonale (quelconque) telle que U MU =
diag(λ 1 (M ), . . . , λ n (M )), et diag ∇f (λ 1 (M ), . . . , λ n (M )) désigne la matrice diagonale construite à partir du vecteur ∇f (λ 1 (M ), . . . , λ n (M )).
300