VII.3. La convexification d’une fonction
Indication. La décomposition E = V ⊕ V ⊥ , où V = {X ∈ E | tr X = 0} et V ⊥ =
RI n , peut être utile dans l’organisation des calculs.
Solution : 1 ◦ ) En utilisant la règle de calcul
M − N
2 = M
2 + N
2
− 2 M, N ,
on obtient
X −
tr X
n
I n
2
= X
2 +
tr X
n
2
I n
2
−
2
n
(tr X)
2 .
Comme I n 2 = I n , I n = tr(I 2
n ) = n, il vient
X −
tr X
n
I n
2
= X
2
−
tr X
n
2
.
D’où l’expression annoncée de f (X).
L’application X ∈ E −→ X − tr X
n I n ∈ E est affine, la fonction U ∈ E −→
1
n U 2 ∈ R est convexe ; par conséquent la composée des deux, qui n’est
autre que f , est convexe.
2 ◦ ) a) La fonction g : X ∈ E −→ g(X) := S, X − f (X) est concave et
différentiable sur E, avec
∇g(X) = S −
2
n
X −
tr X
n
I n
.
Le supremum de g sur E est fini et atteint si, et seulement si, l’équation
∇g(X) = 0 est résoluble ; la valeur maximale est alors g(X) où X est une des
solutions de l’équation en question. Voyons pour quels S cela est possible.
Avoir ∇g(X) = 0, i.e. S =
2
n
X − tr X
n I n
, implique tr S = 0. Réciproquement, si tr S = 0, l’équation ∇g(X) = 0 est résoluble avec X =
nS
2 . En
conséquence, lorsque tr S = 0,
f
∗ (S) = S, nS/2 − f (nS/2) = n/4 tr(S
2 ).
b) Supposons tr S = 0 et considérons X k := k(tr S)I n , k ∈ N. Alors
S, X k − f (X k ) = k(tr S)
2
→ +∞ quand k → +∞.
Il s’ensuit que f ∗ (S) = +∞.
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