Chapitre VII. Initiation au calcul sous-différentiel et de transformées...
Cette dernière inégalité, écrite pour tous les (u, f (u)), u ∈ R n , conduit à :
f (u) f (x) +
x − x
f (x) − y
, u − x
pour tout u ∈ R
n ,
c’est-à-dire
x−x
f (x)−y ∈ ∂f (x).
Figure 25.
Illustration du fait que (x − x, y − f (x)) est dans le cône normal à epi f en
(x, f (x)), soit encore
x−x
f (x)−y ∈ ∂f (x).
** Exercice VII.19. Soit E := S n (R) structuré en espace euclidien à l’aide du
produit scalaire ·, ··· (rappel : A, B := tr(AB)) ; soit f : E → R définie
comme suit :
∀X ∈ E, f (X) :=
1
n
X
2
−
tr X
n
2
.
On souhaite calculer f ∗ , c’est-à-dire
S ∈ E −→ f
∗ (S) := sup
X∈E
{{{S, X − f (X)} .
1 ◦ ) Vérifier que f (X) =
1
n
X −
tr X
n
I n
2 pour tout X ∈ E. En déduire
que f est convexe sur E.
2 ◦ ) a) Montrer que le supremum de la fonction X −→ →→S, X − f (X) sur
E est fini et atteint si, et seulement si, tr S = 0.
En déduire f ∗ (S) lorsque tr S = 0.
b) Montrer que f ∗ (S) = +∞ si tr S = 0.
298
Cette dernière inégalité, écrite pour tous les (u, f (u)), u ∈ R n , conduit à :
f (u) f (x) +
x − x
f (x) − y
, u − x
pour tout u ∈ R
n ,
c’est-à-dire
x−x
f (x)−y ∈ ∂f (x).
Figure 25.
Illustration du fait que (x − x, y − f (x)) est dans le cône normal à epi f en
(x, f (x)), soit encore
x−x
f (x)−y ∈ ∂f (x).
** Exercice VII.19. Soit E := S n (R) structuré en espace euclidien à l’aide du
produit scalaire ·, ··· (rappel : A, B := tr(AB)) ; soit f : E → R définie
comme suit :
∀X ∈ E, f (X) :=
1
n
X
2
−
tr X
n
2
.
On souhaite calculer f ∗ , c’est-à-dire
S ∈ E −→ f
∗ (S) := sup
X∈E
{{{S, X − f (X)} .
1 ◦ ) Vérifier que f (X) =
1
n
X −
tr X
n
I n
2 pour tout X ∈ E. En déduire
que f est convexe sur E.
2 ◦ ) a) Montrer que le supremum de la fonction X −→ →→S, X − f (X) sur
E est fini et atteint si, et seulement si, tr S = 0.
En déduire f ∗ (S) lorsque tr S = 0.
b) Montrer que f ∗ (S) = +∞ si tr S = 0.
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