VII.3. La convexification d’une fonction
** Exercice VII.18. Soit f : R n → R convexe (mais pas nécessairement différentiable). On désigne par ∂f (x) le sous-différentiel de f en x.
Soient x ∈ R n et y < f(x) ; on désigne par (x, y) la projection de (x, y) sur
l’épigraphe de f.
– Vérifier que y = f (x) et y < f(x).
– Montrer que
x − x
f (x) − y
∈ ∂f (x).
Solution : R n × R est structuré en espace euclidien grâce au produit scalaire
(x, r), (x
, r
)
R n+1 :=
x, x
R n + rr
.
L’épigraphe de f , epi f := {(x, r) ∈ R n × R | f (x) r}, est ici un convexe
fermé de R n × R. Il peut être vu comme l’ensemble de sous-niveau (ou tranche)
de la fonction g : (x, r) −→ g(x, r) := f (x) − r au niveau 0, i.e.,
epi f = {(x, r) ∈ R
n
× R | g(x, r) 0} .
Comme g est une fonction convexe (continue) et qu’il existe (x 0 , r 0 ) ∈
R n × R tel que g(x 0 , r 0 ) < 0 (hypothèse de Slater donc), on a :
int(epi f ) = {(x, r) | g(x, r) < 0} = epi f \ gr f,
fr(epi f ) = {(x, r) | g(x, r) = 0} = gr f.
Par hypothèse, (x, y) /
∈ epi f ; la projection (x, y) de (x, y) sur epi f se
trouve donc sur la frontière de epi f , d’où f (x) = y.
L’élément (x, f (x)), projection de (x, y) sur epi f , est solution de l’inéquation variationnelle suivante :
x − x, u − x + (y − f (x))(v − f (x)) 0 pour tout (u, v) ∈ epi f. (7.33)
Il s’ensuit :
• y − f (x) 0 (sinon on arrive à une contradiction dans (7.33) en prenant
(u, v + ρ) ∈ epi f et en faisant ρ → +∞) ;
• y < f(x) en fait (sinon, avec y = f (x), l’inégalité (7.33) indique que
x − x, u − x 0 pour tout u ∈ R n (car f est partout finie sur R n ), et donc
x = x ; on aurait alors (x, y) = (x, f (x)) ∈ epi f , ce qui n’est pas le cas).
En divisant par f (x) − y dans (7.33), on obtient :
x − x
f (x) − y
, u − x
+ f (x) − v 0 pour tout (u, v) ∈ epi f.
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